Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
А . A-C
г ~~С С
то мы видим, что угловая скорость г' сферического гироскопа должна быть увеличена на (А — С) гг!С для того, чтобы она сделалась равной угловой скорости.
11. Равномерное вращение тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, в частных случаях, нерассмотренных в пп. 25, 26 (ср. 125). Конус Штауде является неопределенным, т. е. его уравнение (39') или (39") сводится к тождеству, в трех следующих случаях (и только в них):
а) закрепленная точка совпадает с центром тяжести (ж0 = у0 = Z0 = 0);
б) эллипсоид инерции есть сфера (A = B = С);
в) эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, а центр тяжести принадлежит оси симметрии (А = В, х0 = у0 = 0), если за ось г принимается ось симметрии (случай Лагранжа; ср. п. 37).
Случай а) входит в случай Эйлера — Пуансо и рассмотрен в п. 12.
В случае б), естественно, остаются в силе рассуждения п. 25, которые приводят к необходимым условиям: ось вращения направлена вертикально в пространстве и принадлежит (в теле) конусу Штауде (это последнее условие должно быть,то предположению, автоматически удовлетворено).
Доказательство же достаточности (п. 26), предполагающее неравенство трех моментов инерции, будет не пригодно.
Дополнить исследование, взяв, например, уравнение (34) из п. 22 и выведя из него, что ось вращения должна содержать центр тяжести.
Случай в) Лагранжа рассмотрен в п. 35.
Заметив все это, предположить, что уравнение конуса Штауде не приводится к тождеству, и рассмотреть дискриминант
0 (A-B)Z0 (С-А)у0
Д= (A-B)Z0 0 (B-C)X0
(С—А)у0 (B-C)X0 0
= 2 (В — С) (C-A)(A-B) X0y0Z0.
Доказать, что соответствующий конус второго порядка может выродиться в две различные плоскости (но никогда в одну двойную) и что это может произойти тогда и только тогда, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения или же когда центр тяжести принадлежит одной из
УПРАЖНЕНИЯ
179
главных плоскостей инерции; при этом, конечно, не должны встречаться дальнейшие особенности (полная неопределенность), как в исключенных случаях (а), (б) или (в). Частным примером распадения является пример Гесса (п. 59).
12. Теорема Якоби о разложении движения тяжелого гироскопа на два движения по Пуансо. Этот вопрос рассматривался различными авторами. Среди доказательств наиболее простым является доказательство, данное Падова (Padova, Atti del R. 1st. Veneto, Ser. VII, т. Ill, 1892, стр. 847—855). В заметке Падова находятся также и библиографические указания. Изучающий мог бы сделать более легкими формальные выкладки, пользуясь векторным исчислением.
Более изящным и быстрее ведущим к цели является геометрически кинематический способ, данный Сен-Жерменом. Ср., например, A-Gray A treatise on gyrostatics and rotational motion (London, Macmillan, 1918), стр. 464 *).
13. Распространить движение твердого тела около закрепленной точки на случай вязкого сопротивления, происходящего от окружающего воздуха; ср. гл. V, упражнение 24, или также Е. Padova, Sul moto di rotazione di un corpo rigido, Atti Accad.. di Torino, т. XXI, 1885—1886, стр. 38—47.
^ 14. Движение гироскопа около точки его оси под действием консервативной силы, являющейся производной от потенциала, зависящего только от в. В этом предположении (гл. IV, п. 5) результирующий момент относительно неподвижной точки активных сил будет направлен по линии узлов и будет поэтому перпендикулярен к неподвижной оси 04. Следовательно, для задач этого типа, как и в случае тяжелого гироскопа (У = mg cos А), имеют место- интеграл г = const и интегралы живых сил и момента количеств движения относительно вертикали. Поэтому такие задачи могут приводиться к квадратурам при помощи способов, рассмотренных в пп. 28, 33: в частности, угол нутации 0 будет определяться одним уравнением обычного типа S2 = Ф (s) при s = cos в.
Доказать, что при
U (X — const)
угол 0 можно выразить в функции от времени при помощи элементарных трансцендентных.
15. Среди задач, указанных в предыдущем упражнении, заслуживают особого упоминания в силу их астрономического интереса те, в которых потенциал U будет вида Xcos2A или, что по существу одно и то же, Xsin2Q при X = const. Мы будем иметь случай вернуться к ннм в §§ 8, 10 гл. X.
Здесь же отметим только, что речь идет о задачах, приводящихся к эллиптическим функциям. Ср. Е. Padova, Rend. Lincei, s. IX, т. II, 1886, стр. 135—140, 168—174, где также изложена механическая иллюстрация вопроса.
16. Задача Б р у н а 1). Речь идет о движении твердого тела вокруг одной его неподвижной точки О в предположении, что каждый материальный элемент dm тела притягивается пропорционально расстоянию
*) Этот случай рассмотрен в книге: Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946, стр. 557—563. (Прим. ред.)
!) De Brun, Arkiv for Math., Stoccolma, т. VI, № 9, 1910.
12*
180
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
неподвижной плоскостью, проходящей через О (а также, конечно, пропорционально массе).
Если мы примем эту неподвижную плоскость за плоскость С = 0, то сила притяжения, действующая на элемент dm, будет иметь в качестве проекций на неподвижные оси 0, 0, — К dm, где X обозначает положительную постоянную, а проекции ее иа главные оси инерции тела относительно точки О будут
