Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
5. Параметрические уравнения полодии. При движении Пуансо мы назвали полюсом точку Q пересечения линии действия угловой скорости а>, приложенной в закрепленной точке О, с эллипсоидом инерции относительно этой точки
Из пропорциональности между проекциями р, q, г вектора е» и координатами х, у, г точки Q и из интеграла живых сил
2 T=Ap2 + Bq2 + Cr2 = 2 E
Ax2+ By2+ Cz2= 1.
непосредственно следует
P .- Г
174
гл. vm. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки
Ho так как в силу неизменности результирующего момента количеств движения мы имеем
A2P2 -}- B2q2 -f- С2г2 = const = К2,
то полюс Q принадлежит, кроме эллипсоида инерции, еще и кинетическому эллипсоиду (упражнение 3)
А2х2 + В2у2+СЧ2 = D, где D = K2IcIE, так что полодия, геометрическое место полюсов Q в теле» есть алгебраическая кривая четвертого порядка, получающаяся при пересечении двух только что указанных эллипсоидов.
Чтобы найти ее параметрические уравнения, мы предположим, как это можно сделать, не нарушая общности, что Л >• B^ С, и начнем с замечания, что если речь идет о действительном движении и, следовательно, если полодия действительна, то постоянная D необходимо будет заключена между А и С. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что D есть величина, обратная квадрату расстояния точки О от неподвижной плоскости т, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе Q (п. 11), и потому, наверное, будет, заключена между величинами, обратными квадратам наименьшей и наибольшей полуосей этого эллипсоида, т. е. между А и С.
К пучку поверхностей второго порядка, определяемому эллипсоидом инерции и кинетическим эллипсоидом, принадлежит (единственный) конус, уравнение которого есть
А (А — D) Xі + В (В — D)y2 +C(C-D)Z* = 0; (1)
этот конус в силу ограничения A^ D^-C и того, что он является геометрическим местом осей вращения твердого тела, действителен.
Полодию можно, очевидно, рассматривать как кривую, получающуюся при пересечении эллипсоида инерции и конуса (1). Далее, при D = B этот конус распадается на дв? действительные плоскости (проходящие через среднюю ось и одинаково наклоненные как к большей, так и к меньшей оси), так что полодия в этом случае состоит из двух эллипсов. При D=A полодия сводится к вершинам, совпадающим с концами наименьшей оси, при D = C — к вершинам, совпадающим с концами наибольшей оси. Отсюда в силу непрерывности следует, что, когда D близко к А, полодия будет образована двумя замкнутыми кривыми вокруг вершин, относящихся к наименьшей оси, когда же D близко к С, мы будем иметь две замкнутые кривые вокруг вершин, соответствующих наибольшей оси. При непрерывном изменении одна из этих форм полодий переходит в другую через Два эллипса.
Так как полодия лежит целиком на эллипсоиде инерции, то расстояние и любой ее точки Q от центра О остается, наверное, заключенным между двумя вполне определенным^ конечными пределами, необходимо заключенными между IjYA и IlYC. Для определения расстояния мы обратимся к параметрическому определению полодии, которое получится, если мы разрешим относительно X21 у2, z2 систему уравнений
хг +J'2 + г2 = и2,
Ax2 +By*+ Czz=I,
A3X2 + В2у2 + C2Z4- = D.
R результате мы придем к уравнениям
, BCui-(В + С — D) х~ (A-C)(A-B)
CAu2 — (С + А — D)
(B-A)(B-C)
ABu2- (А + В — D)
V2 =
22 — .
(С — В) (С —А)
(2)
УПРАЖНЕНИЯ
175
Выражая то обстоятельство, что х2, у2, Z2 должны быть положительными,
мы получим для и ограничения
„ В+С—D 11& 1
BC С-\-A —D
(3)
“2- Ta------------* (4)
А + В-Р AB
(5)
Из этих неравенств выводится, что два предела их, Hjja1SBj), между которыми должен изменяться параметр и в уравнениях (2), для всех точек полодии должны быть уточнены следующим образом: прежде всего имеем
во всех случаях
з C+A—D
то эта величина определится правой частью соотношения (3) или (5), смотря по тому, будет ш D В или D^>B (при D = В оба значения совпадают).
6. Из определения герполодии, как геометрического места точек Q на плоскости ч, вывести на основании рассуждений предыдущего упражнения, что эта кривая остается всегда заключенной внутри кругового кольца с центром, являющимся основанием Oi перпендикуляра из О на т, и с радиусами pi, р2, определяемыми равенствами
Pi = uI-V =1,2).
7. Дифференциальное уравнение герполодии. Отнесем герполодию в ее плоскости і к полярным координатам р, а, имеющим в качестве полюса ортогональную проекцию Oi точки О на і, и условимся отсчитывать угол а от некоторого ориентированного произвольного неподвижного направления в плоскости г против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора К (нормального к т).
Формулы упражнения 5 позволяют выразить прежде всего производные по времени от р2 и а в функциях от самого P2.
Начнем с р2 = OiQ2. Дифференцируя, получим
^-2 БЪ W dt lQ dt ’
Ho, с одной стороны, имеем (упражнение 5)
OQ--P=)
Y 2 E
заменяя производную dmjdt вектора о», отнесенного к неподвижным осям в пространстве, производной о», отнесенной к неподвижным осям в теле (т. I, гл. IV, п. 11)* получим
