Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
541
Этот пример иллюстрирует относительность понятия устойчивости: одно и то же движение может быть устойчивым и неустойчивым в зависимости от того, по отношению к каким величинам рассматривается устойчивость.
[6] Здесь речь идет только об условной устойчивости по отношению к углу в. Что же касается „направления" движения, определяемого углом <Ь, то из уравнений
B^q — (С? — та2) r08 = E1
И
9=4
не следует, что угол 6 будет сколь угодно долго оставаться малым, а из этого следует, что „направление" прямолинейного движения диска изменится с течением времени.
Если выполнить указанный автором опыт (с монетой или колесом), то мы увидим, что точка прикосновения не будет описывать на плоскости прямолинейную траекторию, как это требуется условием задачи. Только при соблюдении особо подобранных начальных условий можно осуществить указанное авторами движение. Заметим, что функция 4* совсем не входит в уравнения движения, и потому говорить об устойчивости по отношению к этой функции нельзя.
Р] Устойчивость движения неуправляемого велосипеда определяется, главным образом, конструкцией вилки переднего колеса; если эта конструкция не удовлетворяет необходимым условиям, то никаким увеличением скорости нельзя добиться устойчивости движения.
Что касается движения управляемого велосипеда, то устойчивость его зависит от искусства велосипедиста, который может сохранить положение равновесия и при скоростях, значительно меньших указанных в тексте.
f8] В тексте встречаются различные выражения, называемые авторами работой приложенных импульсов. Чтобы избежать путаницы, заметим, что из уравнения
mv+ — /и » = /
8 8
следует
“4-2 — — 2 ~4-
Щ ~2--------ms ~2~ = h
после суммирования найдем
\1 V F
S2 2ищ 2 Zi 8 2
т, е. приращение живой силы системы равно сумме работ импульсов. Именно это выражение
и будет в дальнейшем называться работой импульсов. Что же касается таких выражений, как
2??" или
то они также имеют размерность работы, но называются соответственно работой для состояния движения после удара и работой для состояния движения до удара. Следует помнить, что ни та, ни другая работа не равна изменению живой силы.
542
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
[9] Уравнения Лагранжа, относящиеся к импульсивному движению, применяются автором только для голономных систем, и в этом случае они имеют вид (стр. 510)
Aph = Jh (h = 1, 2,п),
где Jjl — обобщенные импульсы.
Эта форма уравнений может быть сохранена и для неголономных систем, если под Jil подразумевать не только приложенные импульсы, но и импульсы реакций связей, как голономных так и неголономных.
Будем рассматривать удар как результат внезапного наложения ловых связей на систему и предположим, что до удара система имела п степеней свободы. Пусть в момент наложения связей два каких-либо тела системы приходят в соприкосновение и две точки Р\ и P2 этих тел, совпадающие в момент удара и имевшие различные скорости V1 и до удара, получают после удара одну и ту же скорость v — Vi = V2.
Так как скорости точек Pi и Pi можно выразить линейно через qh, то можно предположить, что и составляющие этих скоростей по направлениям общей нормали к поверхностям тел (Vni и vn2) и составляющие в касательной плоскости (V1, v2, V1 и »’3) также выражены через qh, а виртуальные перемещения этих же точек — через bqh.
Обозначая через Ar1 = — Ar2 = N, T1--Ti = T , т\ = — ТІ = — т" составляющие импульса реакции при ударе, найдем для виртуальной работы следующее выражение:
5Л = { N(vnl - vn2) - T (®; - v’a) - Т" (?'[ - V2) } Ы =
= 2 W (аш - Ьm) - T' (U2ll - b2h) - Т" (a3h - b,h)]bqh.
Так как множители при bqh как раз и являются обобщенными импульсами, то уравнения движения принимают вид
А (= N (alh - bm) - T (a2h - b2h) - T" (а,,к-Ьш) (ft = 1,2.........п). (а)
KdqhJ
К этим уравнениям надо добавить три уравнения связей: vni — Vn2 = («ц — 6ц) <7i -J- («12 — 612) 02 + • • • "Ь (ain — bln) qn = 0, I
Vfl-V2= (а21 -621) qt + (а22-622) q9+ ... + (^-Ь2n)kn =0, (б)
V1 Vz = (я31 "Ь (й32 jT (aSn r)^n~^' *
Раскрывая уравнения (а) и решая их совместно с уравнениями (б) относительно неизвестных qi ... qn, N, T', Т", найдем, что обобщенные скорости в момент наложения связей qh и импульс реакции наложенной связи определяются линейно через обобщенные скорости до удара и, в частности,
\!_ 7У _ Jll _
д * 1 ~ Д ’ А ’
где Д„, Д', А", А — соответствующие определители.
Если касательные реакции возникают только благодаря трению между соприкасающимися поверхностями и если остаются верными законы трения Кулона при ударе, то связь будет обеспечена только в том случае, если
77 ¦> 7'//2<^/2jV2
или
д'2 + л"2</24-
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
543
Так как A', A", An определяются только через начальные обобщенные скорости, то можно проверить, будет ли это условие соблюдаться на самом деле. Если окажется, что оно не соблюдается, то следует положить
после чего уравнения (а) изменят свой вид, а из уравнений (б) следует сохранить только первое. Уравнения (а) и (б) позволяют определить скорости qh в момент, когда наложенная связь осуществлена, и изменение скоростей qh — q°h за первую фазу удара.
