Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
20. Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами в отношении, обратно пропорциональном квадрату расстояния. Эта знаменитая задача рассматривалась впервые Эйлером, который показал, что в случае плоского движения она приводится к квадратурам. Рассмотренная снова Лагранжем, она была затем решена Якоби в эллиптических координатах при помощи метода разделения переменных способом, который мы кратко здесь изложим.
Эта задача не имеет прямого астрономического интереса, так как неподвижность двух центров притяжения несовместима с законом Ньютона, однако она имела и продолжает сохранять довольно большое значение с аналитической точки зрения потому, что дает поучительный пример применения плодотворных математических теорий (криволинейные координаты, эллиптические интегралы, периодические решения). Исчерпывающий разбор ее находится в уже’ цитированном сочинении Charlier, Die Mechanik des Himmeis, Leipzig, т. I, 1902, стр. 117—1631J.
Пусть Ou Og будут два неподвижных центра с массами соответственно mi, /п2 и расстоянием между ними OiOi = 2с; обозначим, как обычно, через / постоянную ньютонианского притяжения. Положение притягиваемой точки Р, массу которой будем предполагать равной 1, для любого момента можно определить, рассматривая прежде всего угол у, который движущаяся полуплоскость OxO-J3 образует с произвольной стороной неподвижной полуплоскости, выходящей из O1O2, и затем координаты х, у точки P в движущейся плоскости OiOiP по отношению к декартовым осям, имеющим начало в средней точке О отрезка OiOa, н ось х, совпадающую с прямой центров (ориентированной таким образом, чтобы относительно нее казалось правым направление, в котором условились отсчитывать '¦?).
При изменении <р плоскость OiO2P вращается вокруг оси Ox с угловой скоростью tp, вообще говоря, переменной; а так как абсолютную скорость точки P можно рассматривать как сумму ее относительной скорости по отношению к осям ху и переносной скорости, происходящей от вращения плоскости, то для живой силы найдем выражение
т=\ (*2+_у2+г?)-
С другой стороны, для потенциала, обозначая через rv rt расстояния OiP, OiP, очевидно, имеем
1J Cm. также большую библиографию у А. М. Hlltebeitei, The problem of two fixed centres and certain of its generalisations, Journal of Mathematics, т. XXXIII, 1911, стр. 337—362.
25 Зак. 2368. Т. Леви-Чишпа и У. Амальдя
386
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Мы видим, таким образом, что <р есть игнорируемая координата, так что имеется соответствующий интеграл
дТ 2,- Ь —r=yS=*k>
Otp
выражающий постоянство момента количества движения относительно оси Ох, проходящей через центры O1 и 0%. Существование этого интеграла можно было предвидеть apriori, так как линии действия обеих сил пересекают ось Ojf.
Далее, наличие такого интеграла позволяет свести задачу только к двум степеням свободы (гл. V, п. 45). Соответствующую приведенную функцию Лагранжа
2* = 2 — к$=Т+и — кч
можно написать, принимая во внимание ранее полученное выражение для 7 и выражение самого интеграла, в виде
1 • 1 №
2* = У (AT*+У)+ t/-I-Jr.
Поэтому все будет происходить так, как если бы мы имели плоское движение точки, отнесенной к неподвижным осям Oxy и находящейся под действием сил, имеющих потенциал
U 2j^-/Ui + rJ 2/’
достаточно перейти, посредством преобразования из упражнения 18, от х, у к эллиптическим координатам qlt q% или ?, имеющим фокусы в центрах сил O1, O2, чтобы вндеть, что и эта задача приводится к типу задач Лиувилля, интегрируемых посредством разделения переменных (п. 62).
Действительно, если мы будем пользоваться координатами ?, ц, то прежде всего будем иметь
J (i2 + >) = ~ (ch2 7) — COS2 ї) (« + }*);
далее, вспоминая тождество
ch2 7] — cos2 ? = sh2 ї] -f- sin2 5,
найдем:
г, UiiD+ U* (У) ch2 7] — cos2 Sj ’
где
U1 (S) = щ) cos ? - J51,
Ut (Ч) = Jfiml+ тпд chч -J? ..
21. Несколько более общий случай, когда задача интегрируется в эллиптических координатах путем разделения переменных, мы будем иметь, если речь будет идти о материальной точке, которая находится под действием ньютонианского притяжения двумя неподвижными центрами O1, O2 н испытывает, кроме того, притяжение, исходящее из центра тяжести точек O1, O2 и пропорциональное расстоянию, каков бы ни был при этом множитель пропорциональности.
Глава XI ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
1. В гл. V мы видели, что все законы механики материальных систем CO связями без трения, по существу, синтезируются в принципе виртуальной работы или, еще лучше, в вытекающем из него общем соотношении динамики, так что, пользуясь этим единственным соотношением, мы в состоянии для какой угодно задачи составить дифференциальные уравнения движения. Тем не менее представляет интерес и оказывается удобным преобразовать общее соотношение динамики таким образом, чтобы прийти к формулам, в основном эквивалентным этому соотношению, но имеющим отличную от него структуру; эти формулы с прикладной и эвристической точек зрения допускают или возможные обобщения, выходящие за рамки узко механических задач, или, в некоторых случаях, более быстрый вывод дифференциальных уравнений движения, а с теоретической точки зрения они представляют собой интерпретации, обнаруживающие некоторые общие свойства движения систем, которые, конечно, логически содержатся в принципе виртуальной работы, однако не могут быть непосредственно получены из его первоначальной формулировки.
