Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
A=I
линейного элемента, очевидно, ортогональному.
18. Эллиптические координаты Эйлера. В случае плоскости параметрические выражения (20) декартовых координат х, у, если положим ах == с2, д2 = 0, принимают вид
* — (J4)
где, конечно, координата q і должна рассматриваться положительной и меньшей с*, а координата — отрицательной.
Поэтому, обозначая, как обычно, через sh и ch гиперболические синус и косинус, можно положить
qt = Ci sin2 8, — <72 = с2 sh2 т),
где ? и т] обозначают два действительных параметра. Отсюда следует
с2 — <h — с2 cos* 5, с2 — q<z = с2 ch2 nj.
и, далее, подставляя в равенства (24) н извлекая квадратные корни (не принимая во внимание двойного знака),
х = с cos 5 ch г), у = с sin 5 sh ц.
Проверить прямо, отправляясь от этих формул преобразования координат х, у и 5, Tjf что:
1) линии ? = const, к) = const (которые не отличаются от ^i = const, q2 = const) представляют соответственно софокусные гиперболы и эллипсы с фокусами в точках х = ± с, у = 0, причем для главных полуосей при очевидных обозначениях имеют место выражения
ах = с I cos ? |, Ъх = с I sin ? |
в случае гиперболы и
Я2 = С ch I), = С sh Г]
в случае эллипса;
2) для координаты 5, по крайней мере до кратных 2я, имеет место однооднозначное соответствие между парами значений S, т| и точками всей плоскости, вместо одного только квадранта, как это имело место для первоначальных qb g2;
3) линейный элемент плоскости в координатах S1 ц определяется равенством
ds2 = с2 (ch2 ¦/] — cos2 Jj) (rf?2 -(- dif).
Заметим, что посредством координат ?, ч\ произвольной точки P можно выразить в рациональной форме расстояния Г\, г2 этой точки от фокусов. Действительно, в силу фокальных свойств соответственно гиперболы и эллипса имеем
I rI — HI = aI = с I cos % |, Гх + T2 = с ch Т)
и для заданного значения ? всегда можно выбрать фокусы таким образом, чтобы имело место равенство
rx — T2 = CCos 5,
384
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
после чего на основании однозначности и непрерывности соответствия между точками и парами координат 6, T1 можно быть уверенным, что равенство продолжает существовать при каком угодно положении точки Р. Из предыдущих равенств следует
19. Геодезические линии эллипсоида. В п. 44 гл. II мы рассматривали геодезические линии какой угодно поверхности <т как траектории движения по инерции (спонтанное движение) материальной точки, удерживаемой без трения на поверхности о. В случае поверхности общего типа мы ограничились указанием на основании интеграла живых сил, что движение происходит с постоянной по величине скоростью, не занимаясь задачей интегрирования, которое к тому же, если не вводить частных предположений, мы не сможем выполнить элементарными средствами. В специальном случае поверхности вращения, мы видели (пп. 45, 46 гл. II), что имеет место также интеграл площадей в плоскостях, нормальных к оси вращения, и что это обстоятельство позволяет привести определение движения по инерции, а следовательно, и геодезических линий к квадратурам. Здесь читатель может убедиться в этом без вычислений, обращаясь к теореме Лиувилля из п. 44.
Далее, другой известный тип поверхностей, для которых оказывается возможным определить геодезические линии при помощи квадратур, составляют поверхности второго порядка. Это определение впервые было выполнено Якоби при помощи эллиптических координат, которые он определил изящным способом, указанным в упражнении 17.
Останавливаясь на эллипсоиде с каноническим уравнением
при A1 > а2> Яз > 0, рассмотрим его октант, содержащийся в области точек со всеми положительными декартовыми координатами, и введем для этих точек согласно сказанному в упражнении 17 эллиптические координаты Чь Чь Чп (в одно-однозначном соответствии с декартовыми координатами), которые определяются для всякой точки Xi уравнением третьей степени относительно X
Точки эллипсоида о определяются значением X = 0, и это значение X, как меньшее as, есть не что иное, как третья эллиптическая координата д3, так что в эллиптических координатах уравнение эллипсоида сводится к особенно простому виду: = 0.
Далее, для того чтобы иметь в эллиптических координатах выражение для живой силы
материальной точки (с массой, равной 1), удерживаемой на поверхности о, нам остается только применить формулу (23) из упражнения 17, полагая в нем п = 3, q3 = q3 — 0. Таким образом получим
где на основании формулы (22') величины Gi, G2 определяются равенствами Gi = (ft — Чг) B1 (<7i), G2 = (qy — q2) Вг fa),
r-i = j (ch т) -f cos і), r2 = -|- (ch і) — cos Ї).
T =
•g-(0^ + 0,?),
УПРАЖНЕНИЙ
385
в которых В\, Bi представляют собой соответственно функции только от qu q% и в явной форме, если принять меры к тому, чтобы входили только положительные разности, имеют вид
______________tTi__________ __________4%____________
1 («1 — 9i) (ft — «2) (Чі — я3) ' 2 («і — 9г) («а — <h) (?2 — «з) ‘
Форма полученного таким образом выражения для живой силы и предположение отсутствия активных сил позволяют непосредственно видеть, что определение геодезических линий эллипсоида приводит, как к частному случаю (п = 2, U = О, A1 = qi, А4 = — ?2). к тому типу задач, интегрируемых посредством разделения переменных, который мы изучили в п. 62 (случай интегрируемости Лиувилля).
