Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, л-j-І уравнений Zr — 1V, Po +0 P33Pe-шимы относительно р0, рх, ..., рп, так как первые п уравнений предполагаются в свою очередь разрешимыми относительно P1, ра, ..., рп, после чего уравнение р0-\-Н =0, если воспользоваться полученными таким образом выражениями для pv р2, рп, даст выражение для р0 через q, t и те.
Если мы напишем найденные таким образом решения в виде
Pr—Ъ(Ч ItcIO = 0 (г= 1,2, ...,л), (86')
Po — ?о(?М0 = °>
где положено
tPo-
то (п. 29) функции рг — <вг, р0—O0 будут находиться в инволюции, т. е. будут удовлетворять равенствам
(Pr — <Pr> Ps-cPe) = 0 (г, S = О, 1, «);
так как ф не зависят от р, то эти равенства примут вид
к ('.»=0.1.-.»). <»)
так что они выразят необходимые и достаточные условия для существования такой функции V от q, q0 = t и от постоянных те, что
щ-г = '?г (г=1, 2, л) (9Ia)
^ = ^ = -(/?, _v (91«)
Определение этой функции V, как известно, требует только
квадратур; покажем сейчас, что эта функция и представляет собою полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (72).
Что функция V есть интеграл, можно видеть непосредственно из равенства (91 д), если принять во внимание равенства (91а), так что остается только подтвердить его полноту. Для этой цели достаточно проверить, что смешанный функциональный определитель от V по q и те (п. 35), т. е. в силу уравнений (91а) якобиан от ®1; ®2, ..<р„ по те, не будет тождественно равен нулю. Ho это есть необходимое и достаточное условие для разрешимости уравнений (86') относи-
тельно те, обеспеченное заранее тем обстоятельством, что эти уравнения эквивалентны первоначальным уравнениям (86), которые как раз и являются разрешенными относительно те.
45. Следствия из теоремы Лиувилля для канонических систем
с характеристической функцией, не зависящей от времени. В кон-
кретных задачах, представляющих физический интерес, оправдывается
314
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
то обстоятельство, что переменная t не появляется ни в Я, ни в одном из известных интегралов (86). При таком предположении теорема Лиувилля позволяет сделать два замечания, которые следует разъяснить.
Прежде всего мы видим, что способ, использованный в предыдущем пункте для установления теоремы Лиувилля, приводит к пол-ному интегралу вида
V=-EtJrW,
где E есть постоянная, a W не зависит от t.
Действительно, так как функции срг не содержат t, уравнениям (91а) можно удовлетворить некоторой функцией W, зависящей исключительно от q (и от тс), после чего наиболее общее решение этих уравнений определится равенством
V= W-+T,
где T представляет собой некоторую произвольную функцию от t (и от те). Остается еще удовлетворить уравнению (91g), которое дает здесь
^=?о=-Wiv-v (9i;>
надо заметить, что, с одной стороны, так как уравнения (90) при г = 0, s > 0 дают
^ = (S-1. 2.
функция ср0 не зависит от q и, с другой стороны, что она также не зависит и от t, потому что такой же, по предположению, является функция Н, и t не может быть введена в нее подстановкой рг = <эг. Поэтому функция ср0 есть постоянная (зависящая от те), которую мы можем обозначить через — Е, и из соотношения (91«) заключаем, что, по крайней мере с точностью до несущественной постоянной,
T = -Et.
Этот результат надо сопоставить с выводами п. 38.
Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля: интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо (іодними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов fv /2', ..., /я_і, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции /1;
/2...../и—і, H независимы между собой.
Действительно, мы замечаем, что а) п-й интеграл определяется уравнением W = Const (п. 4) и б) так как все функции / не зависят от времени, то уравнения (87) приводятся здесь к виду
(Я, /г) = 0 (г=1, 2, ..., га —1),
§ 8. ПРИМЕРЫ
315
так что я-й интеграл H будет также находиться в инволюции с остальными п — 1 интегралами.
После этого достаточно применить теорему Лиувилля.
§ 8. Примеры
46. Свободная точка, отнесенная к цилиндрическим координатам. Каноническое выражение, имеющее место в этом случае для живой силы
<.п = ч(р‘г + ^р\+р\),
явно не зависит от азимутальной координаты <р, так что если точка находится в поле консервативной силы, симметричном относительно оси г, и, следовательно, соответствующий (единичный) потенциал U тоже не зависит от ср, то эта координата является игнорируемой, и имеет место интеграл
Pг = г*? = <?,
который, естественно, истолковывается как интеграл момента количества движения относительно оси z или как интеграл площадей относительно полюса в плоскости Z= 0.
Приведенная каноническая система (п. 42), имеющая только две степени свободы (относительно переменных гиг), имеет в этом случае характеристическую функцию вида
H=\{pl+p% + ^~-U(r,z),
которую можно истолковать как соответствующую некоторому движению в меридианной плоскости под действием силы, являющейся производной от потенциала
