Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Так как здесь на основании предположения, что V есть интеграл (полный) уравнения (72), эта характеристическая функция тождественно равна нулю, то преобразованная каноническая система, при-
интегралом Ttft == const, = const (k = 1, 2, ..., п), откуда, возвращаясь к первоначальной системе (5), мы и заключаем, что ее общий интеграл определяется уравнениями (75) или эквивалентными им уравнениями (71), (74), если it, Z рассматриваются в них как произвольные постоянные.
Существенное достоинство этого метода интегрирования заключается в той его особенности, что выражения (71), (74) или (75) для общего решения автоматически вводят произвольные постоянные it, х в канонической форме, в том смысле, что зависимости, которые они устанавливают между р, q и it, х, образуют каноническое преобразование.
Наконец, нужно добавить, что, каков бы ни был принятый метод интегрирования, выражения общего решения
Ph = Ph(Ф°1 Я% Яь = ЯіЛ*\р°\я°)> (А= 1,2, »..,«), (76)
(/=1,2, ...,я) (74)
нимающая в данном случае вид itft = 0, = 0, будет иметь общим
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНА-----ЯКОБИ
299
в которых за постоянные интегрирования приняты координаты р°, д° начальной фазы, всегда определяют между величинами р°, д° и р, q преобразование (вполне) каноническое (поскольку t рассматривается в них как произвольный параметр).
Действительно, всегда можно предположить, что предыдущие формулы получены путем исключения тс, X из уравнений (75) и из уравнений того же вида, относящихся к моменту ^0,
достаточно рассматривать t ч tQ как постоянные параметры и вычесть эти равенства почленно, чтобы получить тождество
что и доказывает утверждение, как это следует из п. 11.
36. О теореме взаимности Гельмгольца1). Из последнего замечания предыдущего пункта почти непосредственно вытекают некоторые интересные механические следствия.
!) Герман Гельмгольц родился в Потсдаме в 1821 г., умер в 1894 г. в Берлине, начал свою карьеру военным врачом. В 1847 г., будучи еще врачом, он прочитал в Берлинском обществе (основанном за два года до этого) свой знаменитый мемуар Ober die Erhaltung der Kraft, в котором впервые дается энергетическая формулировка интеграла живых сил с распространением принципа сохранения энергии на все другие виды явлений природы. (Попутно заметим, что в 1842 г. эквивалентность между теплотой н работой была установлена Р. Майером и экспериментально подтверждена Джоулем.)
Исключительные заслуги молодого врача были признаны благодаря влиянию А. Гумбольдта. В 1849 г. он был приглашен преподавать анатомию н физиологию в Кенигсберг, затем в Бонн и Гейдельберг, где с 1858 по 1871 г. его многообразная научная деятельность достигла наивысшего развития. В 1871 г. был приглашен в Берлин, где с 1874 г. состоял президентом Немецкого физико-технического общества.
В области механики его наиболее известные исследования относятся к гидро- и аэродинамике (теория вихрей, жидких струй, атмосферной циркуляции, звуковых колебаний в органных трубах). Ученые мемуары были собраны им самим в три тома (Leipzig, 1882—1885); два других тома содержат публичные лекции и популярные статьи^ Заботами его учеников был опубликован в шести томах целый цикл лекций по математической физике, читанных им в Берлине.
Ph = РаОФ UoX j Vn = Vhiic М*о)> J
(75')
Теперь в силу равенств (75), (75') имеем
П
п
п
2 Ph dql =2'? dv.h—(jP)^dt0 4- d ( V0 — 2 I
A=I
A=I
A=I
n
n
2 Ph dqh = ^pUql +d(V- V0),
A—I
300
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Возьмем снова для канонической системы (5) уравнения общего решения (76), которые мы перепишем здесь, выставляя в правых частях на вид также и начальное значение t0 независимой переменной:
Ph = Pn (*|Р°к°Ю> Чп =Яп (*| P0\Я° Ко) (А=1, 2, л). (76')
Если в промежутке изменения t, в котором сохраняют свое значение эти уравнения (76'), мы фиксируем какой-нибудь момент (отличный от t0), который обозначим через t и назовем конечным моментом, то/уравнения (76') при таких значениях и t определят, по крайней кере, в некоторой области одно-однозначное соответствие между координатами р°, д° начальной фазы и р, q конечной фазы. Это соответствие, как мы только что видели, образует каноническое преобразование между двумя рядами переменных.
Отвлекаясь временно от этого последнего обстоятельства, заметим, что характер одно-однозначности соответствия обеспечивает на основании теоремы о единственности интеграла то, что для определения решения гамильтоновой системы достаточно будет фиксировать безразлично или начальные значения р°, д° (т. е. значения в момент ^0), или конечные значения р, q (т. е. значения в момент t).
Установив это, рассмотрим любое частное решение, определенное, например, путем фиксирования начальных значений p0, д°. Обращаясь к представлениям решений в фазовом пространстве Ф2п, сравним соответствующее движение M с двумя другими движениями M', , тоже
определяемыми гамильтоновой системой (5) и бесконечно близкими к NI, т. е., как обычно говорят, с двумя варьированными движениями (по отношению к М). Если через р°-\-Ъ'р°, <7°-j-8'<7° и р-\-Ь’р, q-\-b'q обозначим начальные и соответственно конечные импульсы и координаты в NI', а через рс -f- о"р°, q° -f- й"д° и р -J- Ь"р, д+-Ъ"д— аналогичные начальные и конечные значения в Ж", то каждое из этих двух варьированных движений можно определить независимо от другого; если фиксировать произвольно бесконечно малые приращения обобщенных координат g и обобщенных импульсов р для движения Н, относящиеся к начальному (oq° и 8р°) или к конечному (од и 8р) моменту времени, то на основании уравнений (76') можно однозначно определить соответствующие бесконечно малые приращения соответственно для начального или конечного момента.
