Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
/я82а> = (22)
Уравнения (21) (плоского движения центра тяжести) и уравнение (22) (уравнение моментов относительно центра тяжести) представляют собой основные уравнения плоского движения диска и, что вполне естественно, совпадают с уравнениями Лагранжа относительно параметров S0, Ifi0, 9, которые получились бы на основании известного выражения для живой силы (гл. V, п. 49)
Т=\т (% + ^+ЪЧ*).
Если вместо неподвижных осей QStj мы отнесли бы дисі?- 5 (как это уже делалось в предыдущем пункте) к подвижным осям О ху, неизменно связанным с S, то уравнение (22) осталось бы, очевидно, неизменным. Что же касается уравнений (21), то надо было бы их преобразовать; но мы достигнем результата быстрее, если спроектируем на подвижные оси первое основное уравнение, отнесенное к ним, т. е. уравнение
Q + wXQ = /?.
Если обозначим через vx, Vy проекции на оси Gxy скорости центра тяжести, то аналогичные проекции вектора Q будут mvm, mvv, и мы придем, таким образом, к уравнениям
т (®* — «*>у) = Rcc, т (Vy + woa) = Ry'. (21')
Отметим еще, что все это сохраняет свое значение в предйоло-жении, что мы принимаем за центр приведения моментов центр тяжести. Если же, наоборот, центр моментов берется в произвольной точке О плоскости TC, причем закон движения точки О должен быть задан посредством выражения ее координат S', ч\' в функции времени, то К? нужно будет определить на основании известного тождества
K=Kg+ OG X Q-
ЗО ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Таким образом, получим
К: = /я{82ш-|-($0 — ?')7,0-(T)0-T)') S0J.
15. О трении качения в динамическом случае. Относительно трения скольжения мы знаем уже (гл. I, § 8), что при движении оно направлено прямо противоположно скорости точки соприкосновения между телом и опорой и имеет максимальную величину /N, где / обозначает коэффициент трения, a N—абсолютную величину нормальной реакции опоры.
Что же касается трения качения, то мы уже видели в Статике (т. I, гл. XIII, § 6), что его можно схематически представить некоторой парой с моментом Г, у которого следует отличать касательную составляющую Гт, или момент трения качения, и нормальную Yn, или момент трения верчения\ в статическом случае всегда принимают, что величины этих двух моментов не могут превосходить соответственно двух максимумов A1W, ЛаЛ/, где A1 и Zz2, обозначают соответствующие коэффициенты трения.
Далее, в динамическом случае допускается, как дальнейший эмпирический закон, что величина каждого из двух моментов Гх, Pw сохраняет в течение всего времени движения свое максимальное значение, а направления этих моментов таковы, что сопротивление вращению твердого тела в любой момент оказывается наиболее эффективным.
Более точно это означает, что ориентированное направление Гт, остающееся a priori неопределенным, когда угловая скорость о> равна нулю, в любой момент, когда ыф.О, будет прямо противоположно направлению касательной составляющей вектора ы, в то время как составляющая Г„, у которой при ю = 0 остается неопределенной только сторона обращения, при to ф. 0 будет направлена противоположно нормальной составляющей вектора <о.
Например, в случае цилиндра, который, будучи опертым на шероховатую плоскость вдоль какой-нибудь своей образующей g, может вращаться (мгновенно) вокруг нее .и скользить в направлении, перпендикулярном к ней, трение верчения отсутствует, трение же качения имеет момент Гт, направленный по образующей g в сторону, обратную вращению, когда оно не равно нулю.
§ 6. Колесо на горизонтальной плоскости
16. Уравнения движения. В качестве первого приложения общих: рассуждений, изложенных в предыдущем параграфе относительно-движения, параллельного плоскости, мы рассмотрим здесь движение колеса или пары колес (колесного ската), насаженных на одну и ту же ось, по горизонтальному полу, когда действующие силы соответствуют или случаю ведомого, или случаю самодвижущегося экипажа.
§ 6. КОЛЕСО НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
31
Имея в виду только движение, параллельное неподвижной плоскости, можно на основе предварительных замечаний из п. 12 ограничиться только круговым диском S, радиус которого обозначим через г, а полную массу — через т. Предположим, что центр тяжести G совпадает с геометрическим центром диска, и рассмотрим обычный случай, когда плоскость диска 5 вертикальна и диск движется вдоль горизонтальной прямолинейной колеи, которую примем за неподвижную ось QS1 направив ось Qtq по вертикали вберх (фиг. 4), Пусть на диск 5 помимо его веса р = mg и реакций опору с трением (скольжения и качения) действует горизонтальная силаі приложенная к центру тяжести, и активная пара с моментом, перпендикулярным к диску.
Обозначим проекцию горизонтальной силы на ось QS через ¦: и осевой момент активной пары через — 9Ю, так что Si будет положительным, если пара стремится вращать диск в сторону от Yj к S1 и отрицательным, если она стремится вращать его
в обратную сторону; обозначая через Г аналогичный осевой момент пары трения качения, введем результирующий осевой момент
