Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Kx = Ap, Ky = Bq, Kt=Cr. (16)
С другой стороны, если обозначим через х неизменный в простран-
стве единичный вектор неподвижной оси S^, перпендикулярный К Т., то результирующий момент внешних сил относительно центра тяжести вследствие того, что компоненты Mi, Mri постоянно равны нулю, можно представить в виде M = Мг%] поэтому второе основное урав-
S о. ДВИЖЕНИЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЛОСКОСТИ. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ 27
нение, отнесенное к осям, неизменно связанным с телом, т. е. уравнение (4') п. 3, принимает вид
/Г+W XK= М,х.
После проектирования на подвижные оси (неизменно связанные с телом) это уравнение даст для неизвестных проекций р, q, г вектора о) три скалярных уравнения (уравнения Эйлера):
гд_¦ через Y1, Y2, Y3 обозначены проекции вектора х на подвижные оси, или, что одно и то же, направляющие косинусы оси 2? относительно системы Gxyz.
Величины Y входят в задачу как вспомогательные неизвестные и прежде всего в силу их геометрического значения связаны конечным соотношением
С другой стороны, неизменяемость в пространстве единичного вектора •/. выражается дифференциальным условием d%jdt= 0 или же, при отнесении к подвижным осям (т. I, гл. IV, п. 10), соотношением
которое после проектирования на оси Gxyz приводит к уравнениям (Пуассона):
Шесть дифференциальных уравнений (17), (19) вместе с конечным соотношением (18) определяют закон, по которому изменяется в зависимости от времени вектор угловой скорости (і) внутри тела и, следовательно, результирующий момент К количеств движения. Мы знаем, что по теореме о единственности интегралов систем дифференциальных уравнений это изменение с временем однозначно определяется начальными значениями, которые при единственном условии (18) можно произвольно приписывать неизвестным функциям р, q, г, Ti. T2. Ts-
Далее, состояние движения, параллельное плоскости г., которое кь: предполагаем у тела вначале, включает в себя, очевидно, отно-
Ap — (В — С) qr = MrJ1, Bq-(C-A) rp = MrY2, Cr—(A — B)pq = Md а,
(17)
(18)
•л о) X у* — о.
Tl = W — W> j Ta=sTaP- Tir. J Ts = Titf-T<гР- I
(19)
28
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
сительно подвижных осей, произвольное начальное значение г0 для г и начальные значения
P = Я = Ti = Ъ = 0. Тз = 1 (2°)
для остальных пяти функций.
Если мы предположим теперь, что равенства (20) сохраняют свое значение не только в начальный момент, но также и для всякого другого значения времени, то сейчас же увидим, что равенства (17),
(19) будут выполняться тождественно, за исключением третьего-из (17), которое принимает вид
Cr = Ml
и, начиная с начального значения г0, определяет г в функции от времени.
По упомянутой уже теореме о единственности, это и будет решением уравнений (17), (19), соответствующим заданному начальному состоянию движения, параллельного плоскости тс; из того, что во все время движения Y1 = T2-O, следует, что главная ось инерции Gz постоянно сохраняет направление неподвижной оси 2С, перпендикулярной к плоскости тс; в согласии с тем обстоятельством, что центр тяжести движется В ПЛОСКОСТИ TC, это приводит, как уже было отмечено, к заключению, что движение твердого тела оказывается параллельным этой плоскости.
14. Основные уравнения плоского движения. Предположим теперь, что структурные и динамические условия, при которых движение твердого тела оказывается параллельным неподвижной плоскости, выполнены; в этом случае, как мы видели в п. 12, можно прямо обратиться к изучению движения^ твердого диска 5 в его плоскости TC.
Выбрав в плоскости тс две неподвижные оси, примем согласно с условиями п. 12 за параметры, определяющие положение диска, координаты S0, центра тяжести G и угол 0, составленный с осью 2? какой-нибудь ориентированной прямой, неизменно связанной с 5, и возьмем снова основные уравнения (1), (2'), принимая за центр приведения моментов центр тяжести. Уравнение (1), так как согласно предположению векторы QhR оба параллельны тс, равносильно, в этой плоскости, двум скалярным уравнениям, которые получаются проектированием его на две оси, % и т], и на основании тождества Q = IHVq сводятся к следующим:
т = Rb тЪ = Rv (21)
Аналогично, на основании предположения, что К и M перпендикулярны к плоскости тс, уравнение (2') будет равносильно при рассмотрении плоского движения скалярному уравнению, которое полу-
§ 5. ДВИЖЕНИЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЛОСКОСТИ. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ 29
чится проектированием (2') на третью ось системы Qijiqtl. Чтобы придать явный вид этому уравнению, положим и = Ь, в силу чего ш означает для диска S угловую скорость уже не только по абсолютной величине, как это было вначале, но и с надлежащим знаком, а именно: в любой момент она будет положительной или отрицательной в зависимости от того, вращается ли диск в рассматриваемый момент в направлении от QS к Qtq (через прямой угол) или в противоположном направлении. Проекция на ось QC результирующего момента количеств движения К относительно центра тяжести определится тогда (гл. IV, п. 16) равенством /Cr = Cw =/я82ш, так что искомое скалярное уравнение примет вид
