Физика молекул - Леше А.
Скачать (прямая ссылка):
Если N молекул заключено в постоянном объеме, то, согласно (2.29), средняя длина свободного пробега не должна зависеть от температуры. В действительности наблюдается небольшое увеличение 7 с ростом температуры Т. Очевидно, чта при возрастании скорости молекулы сближаются сильнее и поэтому сечение взаимодействий d несколько уменьшается. Это служит доказательством того, что молекулы являются не совсем «жесткими». Несмотря на это, модель шаров во многих случаях дает правильные полезные результаты, общность которых, однако, еще следует проверить.
2.4.3. Вязкость газов
Если две поверхности сдвигать параллельно друг другу, то на расположенные между ними молекулы газа действуют тангенциальные силы, которые тормозят это относительное движение (рис. 2.7). Вязкость ^ определяется феноменологическим уравнением
Ft = T1 (2.32)
где Ft — сила трения (напряжение сдвига), приходящаяся на единицу площади, по нормали к которой имеется градиент скорости dvz/dx. Последний возникает вследствие того, что молекулы газа взаимодействуют с поверхностями и при соударении сохраняют компоненту скорости в направлении 2.
Скорость каждой молекулы складывается из двух частей: «статистической» компоненты, среднеквадратичное значение которой определяется температурой [уравнения (2.5) и (2.7)], и дополнительной г-компоненты Vz, которая передалась молекуле при последнем соударении с другой молекулой и которая, следовательно, зависит от места, где произошло это соударение. При следующем соударении, которое происходит в среднем после прохождения пути I, молекулы вновь обмениваются скоростями и т. д. Таким способом благодаря большому числу соударений лроисходит перенос импульса между двумя поверхностями.
Для вычисления действующей при этом силы достаточно рассмотреть лишь z-компоненты, поскольку все другие вследствие статистического характера процесса усредняются. Единичный импульс, который был передан при одном соударении,
равен т^-Ах, где Ax— расстояние от параллельной плоскости, в которой произошло последнее соударение. Число молекул, которые в единицу времени передают импульс рассматриваемой поверхности, равно Nvx. Тогда
Ft = Nvxm —¦ Ах.
(2.33)
В среднем можно было бы считать Ft — 0, поскольку vx является статистической величиной. Ho мы должны усреднять по Vk Ах. Поскольку в создании силы участвуют только те молекулы, для которых Vx и Ax имеют одинаковый знак, то всегда Vx Ax > 0, и это определяет конечный вклад. При расчетах мы
^¦Vo+йщ
х+йх
X
Рис. 2.7. К выводу выражения для вязкости газов Газ течет в направлении 2 со скоростью, убывающей вдоль х. Вследствие этого на поверхностях возникают тангенциальные силы
Рис. 2.8. К передаче импульса при ударе о стенку. Молекулы летят с расстояния /-cos Ф со скоростью, достигнутой в этой точке. Все молекулы, заключенные в конусе между О и & -f d<}, производят одинаковое действие.
принимаем во внимание, что все молекулы до соударения в
среднем проходят один и тот же путь 1 CO скоростью ^V2, HO поступают равномерно из всех направлений (рис. 2.8). Тогда
VxAx = л/V2 ¦ Ї- cos2#—(2.34)
я
Fi =4 Nml 4?- <2-35)
Сравнение с (2.32) и (2.29) дает
Л = 4- Nml = -~ ,~2; -¦ (2.36)
' 3 V 3 V2 nd2 1 ’
Следовательно, вязкость зависит от температуры, а не от давления; противоположные зависимости от давления величин N и I взаимно компенсируются. С помощью известных соотношений для плотности газа р = Nm и давления р = (1/3)ри2 мож-
25
но выразить I согласно (2.36) непосредственно в измеряемых величинах: ___
'-ч Vir- <2-37>
Например, для воздуха при давлении р= 1,013-IO5 Н-м-2 измеренные плотность и вязкость составляют р= 1,293 кг-м~3, г] = 177-IO-7 кг-м-'-с-1, откуда получается средняя длина свободного пробега для «молекулы воздуха» / = 8,68-10-8 м, и при N = 0,3- IO26 м_3 диаметр этой «молекулы» равен 2,85-IO-10 м. Соответствующее значение для водорода dm — = 2,40 • IO-10 м. Из критических значений [(2.20) и (2.23)] получают йн2 = 2,59 • Ю-10 м, что является хорошим совпадением для величин, полученных из совершенно различных моделей.
2.4.4. Теплопроводность и диффузия в газах
Тепловую энергию Q, которая передается через единицу поверхности в единицу времени при снижении температуры,
можно описать феноменологическим соотношением
Q = (2.38)
это уравнение определяет коэффициент теплопроводности К. С помощью рассуждений, аналогичных проведенным при рассмотрении вязкости, коэффициент X можно вычислить из энергообмена при молекулярных соударениях. При этом целесообразно энергию в отдельных плоскостях выразить через
удельную молярную теплоемкость, поскольку таким образом учитываются сразу все степени свободы. Тогда получаем
X = 4- N -?-1 V^1. (2.39)
Как можно видеть, X также не зависит от давления, что совпадает с экспериментальными данными. Вычисленный на основании этого диаметр молекул оказывается несколько большим, чем при определении другими способами, что может быть связано с различием передачи поступательной и вращательной энергий при соударениях или с несовершенством модели:
