Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) Коэффициент упругости, напротив, определяется силами
отталкивания, так как вблизи равновесного положения они значительно более
сильно зависят от расстояния, чем силы притяжения.
**) Для самых коротких волн направление колебаний может быть и не
строго параллельным и не строго перпендикулярным направлению
распространения.
поляризации:
v = v (q, р);
4) скоростью распространения.
Каждая волна характеризуется двумя скоростями: фазовой и
групповой (которые в отдельных случаях могут совпадать). Если мы
имеем монохроматическую волну с постоянной в пространстве
амплитудой
то скорость перемещения в пространстве точки с заданной фазой
Если же мы имеем не монохроматическую волну, а импульс
(волновый пакет), то он распространяется в пространстве с так
называемой групповой скоростью
В теории волнового движения решающую роль играет
дисперсия, т. е. зависимость частоты и скорости распространения
волны от ее длины (или, что то же самое, волнового вектора). Для
того чтобы найти эти зависимости, мы должны написать и решить
уравнения движения для колеблющихся атомов.
Аналитическое выражение энергии взаимодействия атомов,
представленной графически на рис. 2.10, является слишком
сложным для решения этой задачи (даже если учитывать только
взаимодействие ближайших соседей), поэтому обычно идут на
радикальное упрощение: считая колебания вблизи точки
равновесия малыми, зависимость энергии U от расстояния между
атомами считают квадратичной, а силы - линейной.
ф = A sin 2я (qx- vt),
(2.143)
qx - vt = ф
определяется равенством
х =
Я я
т. е. фазовая скорость
(2.144)
(2.145)
12-1053
177
При этих условиях уравнение Движения для п-го атоШ
линейной цепочки принимает вид
м = / ("п ~un-i)-f{un- ип+1), (2.146)
где и - смещение атомов из положения равновесия;
М - масса;
/ - коэффициент упругой силы.
Рис. 2.10. Зависимость энергии взаимодействия атомов от расстояния
г между ними и различные колебательные уровни молекулы.
Нижний уровень соответствует нулевым колебаниям; г0 - равновесное расстояние
при абсолютном нуле; г*. r2, и г* - равновесные
расстояния при соответствующих температурах. Уровень 6 соответствует
диссоциации молекулы.
Нетрудно убедиться, что общее решение уравнения
(2.146) можно получить в виде суммы бегущих волн:
и"= 2 sin2" (vtt - qiXn + <Pt), (2.146а)
г
где хп - ап - координата n-го атома в цепочке;
а - постоянная решетки, т. е. расстояние между соседними
атомами.
Подставляя (2.146а) в (2.146), после простых преобразований
находим закон дисперсии:
vi = 4rVTrsinnaqi' (2.147)
178
На рис. 2.11, а представлена зависимость v от q,
построенная согласно (2.147). На рис. 2.11, бив построены
аналогичные зависимости для
йиф = v/q
w
гр
= dv/dq.
Как видно из этих рисун-
ков, для обеих скоростей име-
ет место дисперсия, т. е. обе
они зависят от длины волны,
причем для самых коротких
волн групповая скорость стре-
мится к нулю, а для самых
длинных обе скорости обра-
щаются в постоянную вели-
чину wrv=Wj, = а У [/М ."рав-
ную скорости распростране-
ния звука в кристалле *>.
йнтересно посмотреть, ка-
кому участку графика рис.2.11
соответствуют звуковые вол-
ны. Как известно, частота
звуковых колебаний колеблет-
ся от vMHH я* Ю2 гц до v"aKC я
я 104 гц; скорость звука
(t я 105 см/сек; следовательно,
^мин = С/4'макс = 10 СМ И А,макс =
| = 103 СМ И ^макс звук - 1 /^мин =
f-= 1 /10 = 10-1, в то время как
5для всего спектра ^маКс =
*- --¦= 1/2а я; 108 слг1 и vMaKC я
? я1013 гц. Таким образом, зву-
гковые волны представляют
^совершенно ничтожную часть
спектра колебаний твердого
тела. Нетрудно убедиться в
том, что если бы твердое тело
представляло собой непрерыв-
ную среду, то дифференциаль-
ное уравнение (2.146) перешло
бы в волновое уравнение
dt* ~С дх* ' (2.148)
*) Групповая скорость играет большую роль в явлениях переноса (в
частности, теплопроводности), так как она определяет скорость переноса
энергии (см. ниже).
в)
Za
Рис. 2.11. Дисперсионные кривые
для одноатомной цепочки.
Зависимость от волнового вектора
частоты (а), фазовой (б) и групповой
(в) скорости. Пунктиром показаны
соответствующие зависимости для
струны.
12* 170
Дисперсионная кривая выродилась бы в прямую v - = wq, и
групповая и фазовая скорости были бы постоянны и равны
скорости звука. Это следует также и из качественных соображений:
для длинных волн (А, > а) несущественно, "размазана" ли масса
равномерно или сосредоточена в отдельных точках, для коротких
же (А, 2а) сосредоточение мас
сы в точках максимального отклонения увеличивает инер-
ционность системы (т. е. уменьшает частоту и скорость рас-
пространения волны).
Рассмотрим теперь второй случай, имеющий большое
теоретическое и практическое значение, - кристалл (точнее
цепочку), состоящий из двух сортов атомов с различной массой,
