Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
*' Следует отметить, что впервые существование и тех и других
дефектов предсказал Я. И. Френкель. Можно в принципе представить
образование и так называемых антишотткиевских дефектов: атом с
поверхности внедряется в междуузлие и уходит в объем, при этих условиях в
кристалле будут существовать атомы в междуузлиях и не будет пустых узлов,
однако число таких дефектов, как правило, мало.
167
Вероятность обратного процесса "рекомбинации", т. е.
возвращения иона на пустой узел шр, будет пропорциональна числу
атомов в междуузлиях п и числу пустых узлов, также п, точнее,
тому, что атом в междуузлии "наткнется" на пустой узел, т. е. n/N:
,
а '
а>Р = Рл-5-, (2.112)
где р- постоянный неизвестный коэффициент *\
Таким образом,
_ "ф
-§- = а (IV-n)e hT-^. (2.113)
Равновесие наступит тогда, когда вероятности обоих процессов
будут равны и dn/dt = 0. Полагая n<?N, получим
г~
n^y~Ne 2hT. (2.114)
Достоинство этого вывода в том, что он позволяет проследить
кинетику процесса, например, при изменении . температуры;
недостаток - в том, что он содержит отношение двух неизвестных
коэффициентов a/р.
Перейдем теперь к статистическому методу, который не
обладает ни этими недостатками, ни этими достоинствами. /{?••
Статистический подход. Пусть п я N сохраняют прежние
значения и Nl - общее число междуузлий, в которых могут
разместиться п перешедших в них ионов. Тогда эти ионы могут
разместиться следующим числом способов;
ш1 = ^-= Су (2.115)
(Ы^п)\п\ v '
Точно так же вычислим число способов, которым можно
выбрать п вакантных узлов из общего числа N:
ш = --^ С! (2.116)
(.N - п)\ п\ к '
*) Мы могли бы также написать аур = рл2, включив 1 IN в коэффициент
р.
168
Таким образом, соответствующее увеличение энтропии *>
данного состояния будет (по сравнению с упорядоченным)
S = k In (wyw). (2.117)
Увеличение внутренней энергии кристалла (по сравнению с
состоянием полного порядка) составит
Ь$ = пШф. (2.118)
Если предположить (в первом приближении), что объем
кристалла не зависит от числа дефектов, и пренебречь также
влиянием дефектов на спектр колебаний (т. е. теплосодержание
кристалла), то условием равновесия будет минимум свободной
энергии dF/dn = 0, где
F - %-TS. (2.119)
Воспользуемся формулой Стирлинга для приближенного
выражения логарифмов факториалов в формуле (2.116) для
энтропии:
In (л!) " [ti +у) Inп - ti-\- In (2.120)
или при п > 1
In (л!) да л (In л- 1). (2.121)
Следовательно, согласно (2.117) и (2.121)
S = k [N In N-(N - п) In (N-л) - n In n] +
+ k[NllnNl-(Nl - n) In {N i - n) - я In я]. (2.122)
Воспользовавшись (2.119) и (2.122), получаем
i?. = ёф - kT [In (N- я) + In (Ni -n) - 2 In n] = 0, (2.123) откуда
(^-я)Я(1У1-я) = е~ ^ ' <2Л24>
и, полагая по-прежнему я > Ni и я > N, получим выра-
жение для я без неизвестных коэффициентов
*Ф
л"/Ще 2ftT. (2.125)
*) Коротко основные понятия термодинамики и статистики
охарактеризованы в § 1 гл. 4.
169
Подсчитаем теперь число дефектов по Шоттки пъ обозначим
через ёш энергию, необходимую для перевода атома из объема на
поверхность *).
Проведя рассуждения, совершенно аналогичные приведенным
ранее, получим
F = n?m-k In % , (2.126)
(N-nt)! nt 1
откуда из условий dF/dn4 = 0 получаем
= (2.127)
Как видно из (2.127), в этом случае множитель 1/2 в числителе
экспоненты отсутствует. Объясняется это тем, что в первом случае
рекомбинация пустого узла и атома в междуузлии носила характер
бимолекулярной реакции, а во втором - мономолекулярной **>.
Так, однако, может происходить дело только в атомных
кристаллах, в полярных же (при сохранении стехиометрического
состава) из условия нейтральности следует, что на поверхность
ионы могут выходить только парами; таким образом, число
дефектов по Шоттки в обеих подре- шетках должно быть одинаково.
Обозначив энергию, необходимую для образования пары вакансий,
gp, число отрицательных ионов N', повторив проведенные выше
рассуждения, получим
п1 = УШе~ (2.128)
Согласно (2.125) и (2.128) отношение числа парных дефектов по
Шоттки к числу дефектов по Френкелю
"Р-^Ф
1Ш~е" 2hT , (2.129)
*) Атом на поверхности может занять разные положения. Мы, однако,
должны взять среднее значение энергии на поверхности. Нетрудно убедиться,
что это будет энергия атома, примкнувшего к "ступеньке". При этих
условиях где % - энергия,
необходимая для полного отрыва атома от кристалла.
**) Для исчезновения дырки никакой "встречи" не надо -достаточно
пустому узлу подойти к поверхности, а число атомов на поверхности не
зависит от гц.
170
Sp и имеют порядок одного электрон-вольта. Две величины
порядка 1 эв могут лишь случайно (очень редко) совпасть, обычно
же их разность будет составлять несколько десятых электрон-
вольта, и так как kT " 0,03 эв, то
п
л- = е±10. (2.130)
Эта оценка показывает, что мало вероятно, что число дефектов
обоих сортов будет одного и того же порядка. Обычно один из типов
