Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
о которых невозможно, не пользуясь некоторым минимумом
понятий квантовой механики. Постараемся изложить эти вопросы в
возможно более краткой и простой форме.
волны И ЧАСТИЦЫ
В XIX веке господствовали взгляды о волновой природе
света, на основе которых удалось вывести все законы
геометрической оптики, объяснить явления интерференции и
дифракции и целый ряд других известных к тому времени
закономерностей в поведении электромагнитного излучения.
Однако ряд принципиальных вопросов был необъясним. Так,
согласно волновой теории равновесное для любой температуры
электромагнитное излучение представляло собой систему с
бесконечной энергией, так как в классической статистике на
каждую степень свободы приходится одна и та же средняя энергия
теплового движения, а электро-
8-1053
113
Магнитное излучение представляет собой систему с бесконечным
числом степеней свободы *>.
Система с бесконечной энергией при любой температуре,
отличной от нуля, должна обладать бесконечной теплоемкостью;
следовательно, не только сама такая система, но и любая другая,
равновесная с ней, должна находиться всегда при температуре
абсолютного нуля.
Для объяснения этого парадокса один из величайших ученых,
Планк. в 1900 г. предположил, что энергия ё волны с частотой v
может принимать не любые значения, а лишь кратные
определенной порции (кванту) **>:
Шп = nhv, (2.1)
где п - произвольное целое число,
h - универсальная постоянная (названная в дальнейшем
постоянной Планка).
Этого предположения оказалось достаточно, чтобы лик-
видировать так называемую "ультрафиолетовую катастрофу" и
открыть новую эру в физике - эру квантовой физики.
На рис. 1.12 представлен энергетический спектр (т. е.
совокупность возможных значений энергии) такого квантованного
осциллятора. В соответствии со сказанным выше он состоит из
серии линий, отстоящих друг от друга на равном расстоянии: Ш0 =
hx (энергия одного кванта).
Представим себе такой осциллятор в равновесии со стенками
ящика или газом, средняя энергия молекул которого порядка kT (на
чертеже обозначена пунктиром) ***>. Если бы все молекулы
обладали такой энергией, недостаточной для перевода осцилляторов
в первое возбужденное состояние, то электромагнитное излучение
этой частоты вообще
*) Представим себе излучение в ящике размером /жх/уХ/2, стенки
которого имеют температуру Т и находятся в термодинамическом
равновесии с излучением. Тогда в направлении х в нем будут представлены
волны Хх - 21х/п, где п = 1,2, . . ., оо, и то же самое для у и для г. Каждая
волна должна иметь среднюю энергию порядка кТ, следовательно, полная
энергия излучения должна быть бесконечна.
**) Впоследствии, в 1911 г., аналогичные представления о квантовании
энергии колеблющихся атомов были предложены Эйнштейном для
объяснения температурной зависимости теплоемкости твердого тела.
***) Представления о том, что энергия колебаний твердого тела также
квантуется (которые появились позже) не изменили ни качественно, ни
количественно дальнейших выводов этого параграфа.
114
не возбуждалось бы и его вклад в теплоемкость равнялся бы нулю.
Но в действительности энергия атомов лишь в среднем порядка кТ
и всегда имеется небольшое число атомов, энергии которых много
больше средней; эти атомы "изредка" будут возбуждать
электромагнитные колебания.
Кроме того, как мы уже упоминали, в равновесном (для данной
температуры и данного резервуара-ящика) электромагнитном
излучении всегда имеется набор волн и каждой волне соответствует
своя частота:
v = ?, (2.2)
где с - скорость света.
На рис. 1.12,6 представлен полный спектр излучения в ящике
для всего набора частот. Как видно из рисунка, в спектре имеются и
очень низкие частоты, которые будут возбуждаться и при очень
низких температурах. Но для нас теперь важно отметить одно -
развитые выше качественные представления снимают вопрос о
бесконечности энергии.
Действительно, хотя электромагнитное излучение по- прежнему
остается системой с бесконечным числом степеней свободы, но
энергия его будет конечна, так как частоты с энергией е > кТ почти
не будут возбуждаться. Эти соображения нетрудно оформить
количественно.
Подсчитаем для этого среднюю энергию е осциллятора с частотой V. По
определению
"=?тг <2-3>
(где w (е) - вероятность того, что осциллятор приобретает энергию е) будем
считать так же, как в классической статистике, что w (е) определяется
выражением
в
ш(е) = е hT -е~ае,
где а - 1 /кТ.
Полагая в соответствии с (2.1), что энергия е может принимать
значения
E = nh\
(где п - любое целое число), получим
2e-an/lv"Av
0 - ~jr~ 1Q 2е-an/iv. (2.4)
00 да
2 е-"nftv
О
8* 115
Но выражение, стоящее в (2.4) под знаком логарифма, есть сумма членов
бесконечной геометрической прогрессии с знаменателем e~aflv, таким
образом,
§ e-anhv = 1 + е-<"^4 ... = , (2.5)
О 1-е
и, дифференцируя по а логарифм выражения (2.5), получим окончательно
