Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
и пространственной частью
Единичный вектор или компоненты в ортонорми-рованном репере
d/dX Обозначение, иногда применяемое для вектора
(см. введение в гл. 7) А (/) Вектор, действующий на функцию (= Aaf_a)
ю 1-форма
(? Тензорное произведение, прямое произведение
(например, A(g)B имеет компоненты A11Av)ОБОЗНАЧЕНИЯ
11
Д Полностью антисимметризованное произведение
внешних форм (см. введение в гл. 8) V Оператор ковариантного дифференцирования (см.
введение в гл. 7). Как и в обычной физике, мы используем также обозначения Vx =rot, V2 —оператор Лапласа и т. д. Va Производная по направлению (см. введение в гл. 7)
D/dX Ковариантная производная вдоль кривой (см. вве-
дение в гл. 7)
d Оператор градиента, например в 1-форме 3/ (см.
введение в гл. 8) X Производная Ли (см. задачу 8.13)
ra?Y Символ Кристоффеля (см. введение в гл. 7)
? Оператор Даламбера в специальной теории отно-
сительности (== V2 — d2/dt2) , Частная производная
; Ковариантная производная (см. введение в гл. 7)
Ra^yS Тензор Римана (см. введение в гл. 9)
Rafi Тензор Риччи (=#VaY|3)
R Скаляр Риччи (==/?"„), а также скалярный мно-
житель в метрике Робертсона — Уокера Ga? Тензор Эйнштейна (см. введение в гл. 9)
CapYo Тензор (конформный) Вейля (см. введение в гл. 9)
Kij Тензор внешней кривизны (см. введение в гл. 9)
т Собственное время
с Скорость света (обычно принимаемая в задачах рав-
ной единице)
G Гравитационная постоянная (обычно принимаемая
в задачах равной единице) и 4-с.корость
а 4-ускорение (== du/dt)
р или P 4-импульс
р или P Давление
Ttiv Тензор энергии-импульса (см. введение в гл. 5)
Ftiv Тензор электромагнитного поля (см. введение
в гл. 4)
Jv Плотность тока (см. введение в гл. 4)
Jvv Тензор углового момента (см. задачи 11.1, 11.2)
Tj^v Метрика Минковского (см. введение в гл. 1)
Zljiv Возмущения метрики (см. введение в гл. 13)12
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ц. м. Центр масс
у, со Частота в герцах и циклическая частота в ради-
анах за единицу времени Y Лоренцевский фактор =(1 — и2/с2)_,/«, а также
обозначение фотона Аар Матрица преобразования Лоренца
det Определитель
Sp След
( ) Средняя величина ((E) — средняя энергия)
(,) Скалярная комбинация вектора и 1-формы, напри-
мер (©, А) (см. введение в гл. 8) [ ] Антисимметризация (см. задачу 3.17), коммутатор
(см. введение в гл. 8) или разрыв величины (см. задачу 21.9) ( ) Симметризация
go?vo Полностью антисимметричный тензор (см. зада-
чу 3.20)
* Символ дуальности (см. задачу 3.25)
Re Вещественная часть
Q Телесный угол (например, в JdQ), угловая ско-
рость
Ра$ Проекционный тензор (см. задачи 5.18, 6.6)
д Расширение (см. задачу 5.18)
стар Поперечный сдвиг (см. задачу 5.18)
<»a? Вращение (см. задачу 5.18)
Тензор приведенного квадрупольного момента (см. введение в гл. 18) H0 Постоянная Хаббла
q0 Параметр замедления
Mq, Rq Масса, радиус, ... Солнца
г Величина красного смещения (см. задачу 8.28,
введение в гл. 19) 0 Порядок величины
~ Пропорциональность (например, гъ ^t2) или парал-
лельность векторов (например, А<~ В)ЗАДАЧИ
ГЛАВА J
КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Траектория наблюдателя в пространстве-времени называется мировой линией данного наблюдателя. Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с наблюдателем, называется собственным временем наблюдателя т и определяется соотношением
—dt2 = ds2 = — dt2 + dx2 + dy2 + dz2,
где t, X, у, z — координаты (Минковского) точек, принадлежащих мировой линии наблюдателя. Здесь и далее, если нет особых оговорок, мы используем систему единиц, в которой скорость света с равна 1.
Векторы 4-скорости и с компонентами (dt/dx, dxjdx, dy/dx, dz/dx) и 4-ускорения a = du/dx с компонентами (d2t/dx2, d2x/dx2, d2y/dx2, d2z/dx2) определены на мировой линии. Контравариант-ные компоненты этих и других 4-векторов условимся обозначать и", ар, A^, B5 и т. д., где греческий индекс означает любую из 4 компонент t, X, у, Z==O, 1, 2, 3. Латинские индексы i, /, k,... используются лишь для обозначения пространственных компонент X, у, 2=1, 2, 3.
Мы будем также придерживаться эйнштейновского правила суммирования, т. е. предполагать, что по любому повторяющемуся буквенному индексу необходимо произвести суммирование, придав ему все допустимые значения. Например,
v = y%
означает вектор, записанный в виде суммы его контравариантных компонент, умноженных на базисные векторы е„ = (1, 0, 0, 0), C1 = (0, 1, 0, 0) и т. д.
Инвариантное скалярное произведение двух 4-векторов в координатах Минковского определяется выражением
A-B = - A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3Ba.14
ГЛАВА 1
rInv =
.T1
M-v
Его можно представить в виде
A-B = Л^1,
где числа Aix, называемые ковариантными компонентами 4-век-тора А, заданы соотношениями
Ajjl = T1 ^v или ^eifMvt
а
-1 0 0 On 0 10 0 0 0 10 OOOL
Векторы называются пространственноподобными, времениподоб-ными или изотропными в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю их скалярный квадрат v v. Векторы 4-скорости всегда времениподобны.