Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
(Ih1
Задача 19.18. Рещите фридмановское уравнение первого порядка
8я0
3 P R»
относительно R (t), когда преобладающий вклад в плотность р дает а) вещество и б) излучение. Выразите при этом все параметры современной эпохи через H0 и q0.
Задача 19.19. В расширяющуюся фридмановскую Вселенную выстреливается пуля. Покажите, что в случае k = —1 пуля достигает скорости, равной скорости некоторого космологического наблюдателя, но продолжает при этом находиться на постоянном собственном расстоянии от него. Для случая ? = 0 покажите, что пуля опять-таки достигает скорости, равной скорости некоторого космологического наблюдателя, но собственное расстояние между пулей и этим наблюдателем при /-> оо становится сколь угодно большим.
Задача 19.20. Рассмотрим замкнутую (?=1) фридмановскую Вселенную, в которой излучение является преобладающим лишь на протяжении пренебрежимо малой доли всего времени жизни 84
ГЛАВА Ij
Вселенной. Сколько раз фотон может «обежать по кругу» эту Вселенную за время от момента ее «рождения» до «смерти»?
Задача 19.21. Пусть идеализированная фридмановская Вселенная (? = 0), в которой преобладает вещество и которая имеет постоянную Хаббла H0, содержит однородно распределенные источники с постоянной светимостью L. Если локальная пространственная плотность числа таких источников в современную эпоху равна п, то какова будет яркость В ночного неба (энергия, приходящая из единичного телесного угла на единицу поверхности приемника в единицу времени)? Если Вселенная является статической и возраст ее бесконечен, то яркость ночного неба должна была бы также быть бесконечной; этот факт носит название парадокса Ольберса.
Задача 19.22, Предположим, что в эпоху рекомбинации водорода (которая, как мы будем считать, имела место при красном смещении г= 1500) параметр замедления <7 = 0,5002. Чему тогда должен быть равен параметр замедления q0 в современную эпоху? Повторите вычисления для <7 = 0,4998 при г = 1500. (Рассмотрите Вселенную, в которой преобладает вещество.)
Задача 19.23. Замкнутая (?=1) фридмановская Вселенная обладает постоянной Хаббла H0 и параметром замедления q0. Будем считать, что в этой Вселенной всегда преобладало вещество.
а) Чему равен полный собственный объем Вселенной в совер-менную эпоху?
б) Чему равен полный собственный объем пространства, которое мы «охватываем взором», глядя на небосвод?
в) Чему равен полный собственный объем пространства, занимаемый в настоящее время веществом, которое мы видим, глядя на небосвод?
Задача 19.24. Чему равен видимый угловой размер объекта с собственным диаметром I, наблюдаемого с красным смещением z во фридмановской космологической модели с преобладанием вещества, для которой значения постоянной Хаббла и параметра замедления в настоящее время равны H0 и <7„? (Аналогичные результаты для видимых собственных движений и видимого блеска следуют из задачи 19.9.)
Задача 19.25. В «горячей» фридмановской модели существуют две независимые друг от друга важные эпохи: когда во Вселенной впервые перестает преобладать излучение и она переходит к стадии преобладания вещества (Рвещ^Ризл) и когда протоны и электроны начинают рекомбинировать, образуя водород. Оказы- ЗАДАЧИ
77
вается, что в нашей Вселенной эти две эпохи почти полностью налагаются во времени друг на друга Исходя из этого факта, получите численное значение сохраняющейся энтропии на барион
а = 4аТ3/Зп,
где Т — температура, а — коэффициент пропорциональности, различный для разных типов излучения, и —плотность числа бари-онов.
Задача 19.26. Выразите температуру характеристической рекомбинации водорода (т. е. температуру, при которой в условиях термодинамического равновесия степень ионизации составляет 0,5) через значение сохраняющейся энтропии на барион о в горячей модели расширяющейся Вселенной. Дайте числовой ответ для о=108 и а= 10®.
Задача 19.27. В радиационно-доминированной фридмановской космологической модели найдите температуру T как функцию собственного космологического времени t для моментов времени, близких к начальной сингулярности. Предположите, что вклад в плотность энергии р дают только фотоны, электроны и позитроны. Как изменится ответ, если включить сюда еще нейтрино и антинейтрино?
Задача 19.28. Фридмановская космологическая модель в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором R1, обладает температурой T1. Преобладающий вклад в плотность дают релятивистские электроны, позитроны, мюоны, фотоны и нейтрино, находящиеся в термодинамическом равновесии. Далее, в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором R2, мюонные пары уже проаннигилировали, но все остальные частицы по-прежнему остаются релятивистскими и находятся в состоянии равновесия. Выразите температуру T2 через T1, R1 и Ri.
Задача 19.29. При каком из нижеследующих предположений в горячей модели расширяющейся Вселенной образовалось бы меньше Не4, чем это предсказывается «стандартной» моделью? Меньше H2 (дейтерия)?
а) Предположим, что плотность числа барионов в теперешней Вселенной больше, чем считается на сегодняшний день.
