Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Требование инвариантности скалярного произведения двух векторов UhV приводит к условию
UabVCDi1acRbd = LBTub'L™- УЪ^н-
Это означает, что должно выполняться равенство
„ „ J E'F' г G'А-
SegSFH = LEF LGH ZE-G'SF'H',
откуда вытекает
McK ,E'F',G'А' „ GM FK OeOH = Lef Lgh ^Е'в'вр'Н'в е
и, следовательно,
det (LfD=I-
Таким образом, матрицы преобразований Лоренца должны быть унимодулярными (т. е. определители их должны быть равны единице).
Решение 21.14.
а) Результат следует из того факта, что индексы В, С и D пробегают всего лишь два значения и поэтому не могут все быть различными.
б) Записав результат п. «а» и воспользовавшись антисимметрией еав, получим
ZAB?CD + ZA&DB + ЄдоЄВС = 0.
Свертывая это уравнение с \CD, находим (будьте внимательными со знаками!)
— ъа&с + Iab — iba = 0. 530
РЕШЕНИЯ
Отсюда имеем
1 с
IAB = I(AB) + |[ЛВ| = ?(дв) + у ^ABIC-
Решение 21.15. Результат получается немедленно из соотношений
[см., например, книгу Пирани (Pirani F. A. E., Lectures on General Relativity, 1965) стр. 315] и
*Taft = у &abTcd-
Решение 21.16. Поскольку «штрихованные» и «нештрихован-ные» индексы коммутируют, мы имеем
T(ab) = у (TABА'В' + Твав'А') =
2
= (TABА'в' — TBAAiB1 + ТВАВ'А' — ТАВВ-А') + \ Т(аЬ) +
+ "!"(тваа'в' + t abb'а')-
Воспользовавшись результатом задачи 21.14, это соотношение можно переписать в виде
T(ab) — %Т\ав\ |Л'В'| + у (ТвАА'в' + Tabb'а') =
1 CC' 1
= У ЪавЪА'В'Тс С' +у (ТвАА'В' + TABB'А')-
И, наконец, используя результат задачи 21.15, получаем
1 С С'
тваа'в' = T {ab) — ~2 z abz a'b-T с с +*т{аь) =
— T(ab) — 2 gabT'c + і * Tab- ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Цифры указывают номера задач, а не страниц. Цифра 0 после точки относится к вводной части главы, иомер которой стоит перед точкой.
Аберрация света или гравитационного
поля 12.4 Автомобилист из Массачусетса 18.1 Аккреция газа в геометрии Шварцшнльда 15.8
— — идеального 15.18
Аналитическое продолжение метрического
тензора 6.9 Анизотропная космологическая модель 19.41
Аитисимметризоваиное прямое произведение 3.24 Антисимметрия 3.14—3.18 Аффинная связность см. Коэффициенты
связности Аффинный параметр 7.0, 7.11
Базис взаимный (дуальный) 8.0
— связанный со свободно падающим наблюдателем 8.0
Базисные векторы или 1-формы 8.1 Безындексиые обозначения 7.20 Бивектор 3.29
Боровский радиус «гравитационного атома»
12:-19 Бусты 1.0
— действие на тензор Римана 15.14
Вариационные методы 7.25, 21.0—21.7 Вариационный метод Палатиии 21.4 Вектор времениподобный 1.0, 3.4
— единичный 1.10
— изотропный 1.0, 3.2—3.4
— касательный 7.0
— Киллинга 10.0 и далее, 14.11
— — в пространстве евклидовом 10.4
— — — — Минковского 10.9
— — 2-сферы 10.1
— — для электромагнитного поля 10.16
— — и статичность 10.8
— — — 4-ускореине 10.14
— — как векторный потенциал 10.6
— ковариаитиый 8.0
— Пойнтинга 4.0, 4.4
— пространственноподобиый 1.0, 3.4 •я- ?охраняющийся 3.35,
— спина 11.3, 11.4, 11.6, 11.7 Векторное поле, ортогональное гиперповерхности 7.23 н далее, 10.8
Векторный анализ (в 3-простраистве) 8.22, 8.23
Векторы Киллинга, вариационный принцип Ю.в
— — и интегралы движения 10.10
— — — сохраняющиеся величины 10.11 — 10.13
— — коммутатор 10.3, 10.5
— — линейные комбинации 10,3
— — тождество 10.6, 10.7 Вес нагретого сосуда 12.7
Внешнее аитисимметризоваиное произведение 3.24 Внешние дифференциальные формы 8.0 Внешний дифференциал 8.3, 8.5, 8.6, 8.24 «Внутреннее» решение Шварцшильда 16.12 Возможность гладкого сшивания метрик
Фридмана и Шварцшильда 16.30 Вращение в космологических моделях 19.38, 19.40
— потока жидкости 5.18 Времениподобный интервал 3.1 Время собственное 1.0 Вселенная де Снттера 19.30
— Казнера 19.41
— Леметра см. Вселенная Фридмана
— Фрндмаиа 19.0
— — с преобладанием вещества 19.18
— - — излучения 19.18
— — температура 19.27, 19.28
— — яркость иеба 19.21
— Эйнштейна 19.31, 19.32 Встречные пучки 2.6 Вторая вязкость 14.10 Выталкивающая сила 16.2 Вязкая жидкость 5.30, 5.31
Газ Бозе—Эйнштейна 5.34
— Максвелла — Больцмана 5.32—5.35
— Ферми—Дирака 5.24, 5.34 Гамильтониан заряженной частицы ЦД9 Геодезическая 7.0, 7,4,. 7,9 532
предметный указатель
— изотропная 1.13
— уравнение 7.0, 7.10—7.12
— — для черной дыры Keppa 17.0 Геодезическая прецессия 11.11 Геодезические, расхождение 9.13, 9.14
— в плоском 2-простраистве 7.3
— — пространстве скоростей 7.15 Геометризоваииые единицы 12.17 Геометрия Шварцшильда 15.0 и далее Гигантские лягушки 1.24 Гидростатическое равновесие 12.9, 12.10,
14.4, 14.5 Гиперповерхность Коши 13.10 Гироскоп II.4, 11.10, 11.11 Главные направления 9.34, 9.35 Горизонт Киллиига 17.12
— черной дыры 17.0
«Горячая» модель расширяющейся Вселенной 19.0 Гравитационное излучение аксиально-симметричной системы 18.9 Гравитационные волны 13.16, 18.0 и далее
— — сильные 18.22
Гравитационный распад атома водорода 18.18
