Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(z)Pp' (z) и в силу уравнений (4) и (12) N = О, так что внутренние волны
отсутствуют. Затем было сделано заключение о том, что уравнения звуковых
колебаний являются точными для волновых чисел 2яIX, больших по сравнению
с gc'2. В настоящем разделе мы расширим этот результат, показывая, что
если звуковые волны должны испытывать пренебрежимо малое воздействие
гравитации, то для любого N волновое число должно быть, кроме того,
большим по сравнению с g~lN2. Таким образом, одна и та же пара
ограничений на волновое число позволяет нам пренебречь как влиянием
сжимаемости на внутренние волны, так и влиянием гравитации на звуковые
волны: при этих условиях звуковые и внутренние волны полностью
"разделены". Это наводит на мысль о третьей цели настоящего исследования:
получить основу для анализа, особенно в разд. 4.13, случаев, когда (из-за
нарушения этих условий) существует связь между звуковыми и внутренними
волнами.
4.2• Объединенная теория звуковых и внутренних волн
357
Мы начнем с того, что выпишем полное линеаризованное уравнение
неразрывности в виде
dpjdt -f- V- (Рои) = 0" (30)
Если воспользоваться уравнением (30) вместо (17), то после взятия
дивергенции от линеаризованного уравнения количества движения (16)
получится
V2pe = d2pjdt2 - gdpjdz. (31)
Можно заметить, что первый член в правой части является значением \/2ре
Для чисто звуковых волн, а второй член - его значением (18) для чисто
внутренних волп.
Нам необходимо также иметь полное линеаризованное уравнение,
утверждающее, что в обратимом процессе скорость изменения давления в
движущейся частице равна квадрату скорости звука, умноженному на
соответствующую скорость изменения плотности. Точный (нелинеаризованный)
вид этого уравнения таков:
dpjdt-}- = с2 {dpjdt + и • Vp), (32)
где с - локальная скорость звука. Если в этом уравнении u 1 Р - Pat Р -
Ро ис - с0 являются малыми величинами, так что произведениями любых двух
из них можно пренебречь, и если р0, р0 и с0 зависят только от z, то
уравнение принимает вид
dpjdt + wdpjdz = [с0 (z)]2 [dpjdt + wdpjdz], (33)
где w = q!p0 - направленная вверх составляющая вектора u. С учетом
гидростатического закона (4) и определения (12) величины N (z) получаем
dpjdt = [с0 (z)]~2dpjdt + g-1 [TV (z)]2q. (34)
Как и прежде, мы видим, что первый член в правой части является значением
dpjdt для чисто звуковых волн в однородной жидкости, а второй член -
значением этой производной, определяемой для чисто внутренних волн
формулой (21).
Мы можем исключить ре из наших уравнений, используя уравнение (19),
являющееся проекцией уравнения количества движения на ось z. Для (34) это
дает
d2q!dt2 + [TV (z)\2q = - d2pjdzdt - g [c0 (z)]~2dpjdt, (.35)
в то время как уравнение (31), в котором д2р Jdt2 и gdpjdz заменены их
выражениями, полученными из (34) и (19) соответственно, записывается в
виде
d2pjdx2 + d2pjdy2 - [с0 (z)]~2d2pjdt2 =
= d2q!dzdt + g-1 [TV (z)]2 dqldt. (36)
358
4. Внутренние волны
Уравнения (35) и (36) описывают совместное распространение звуковых волн
и внутренних волн в стратифицированной жидкости
Прежде чем искать условия, при которых волны двух типов не связаны друг с
другом, мы проверим, что наши уравнения не противоречат сохранению
волновой энергии. По соображениям, впервые изложенным в разд. 1.3, мы
воспользуемся уравнением (28), чтобы определить I = реи как поток
волновой энергии, т. е. вектор, составляющая которого In в направлении
любого единичного вектора п представляет собой скорость, с которой
волновая энергия переносится в направлении п через единицу площади малого
плоского элемента, нормального к вектору п благодаря мощности ре (u-n),
развиваемой избыточным давлением ре. Можно полагать, что соответствующая
волновая энергия на единицу объема будет равна
w = 4" [р° ^ (и ' и) +
+ 4" М2)Г2 [Ро (z)r1 Ре + Y fpo(z)] [N (z)l2J, (37)
т. е. сумме кинетической энергии, акустической потенциальной энергии и
потенциальной энергии внутренних волн (13). Теперь мы проверим, что
скорость изменения плотности W этой волновой энергии всегда будет в
точности равна взятой с обратным знаком дивергенции потока волновой
энергии (28).
Для этой цели нам потребуется выражение
?= \ а> dt = [р0 (z)]-1 [ qdt (38)
для вертикального смещения ?. Проинтегрировав затем уравнение (34) по
времени, получим
[N {z)?l = g [р0 (z)]-1 (ре - [с0 {z)]-2pe}. (39)
К тому же замена в (33) выражения, стоящего во второй квадратной скобке,
выражением -p0V-u в силу уравнения неразрывности (30) дает
dpjdt = wgp0 (z) - lc0 (z)]2 (p0 (z)] V -u. (40)
Скорость изменения волновой энергии (37) равна
dWldt= u ¦ [р0 (z) du/dt] + [c0 (z)]'2 [p0 (z)]"1 pedpe/dt +
+ tPo(z)] [Ar(z)№, (41)
что может быть представлено в виде суммы: (i) скалярного произведения
вектора и на уравнение количества движения (16),
4.2. Объединенная теория звуковых и внутренних волн
359
{ii) произведения [с0 (z)]-2 [р0 (z)]-1pe на (40) и (iii) произведения
[р0 (z)] w на (39). В результате получаем
