Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
волновому вектору (к, I, т) и происходят поэтому на поверхностях
постоянной фазы. Результирующая сила, действующая на жидкость, является
суммой вертикальной гравитационной силы BD и силы ВС, обусловленной
градиентом давления и перпендикулярной поверхностям постоянной фазы.
Поэтому их равнодействующая BE может сама лежать на этих поверхностях, но
должна действовать вверх или вниз в направлении самого крутого подъема.
При этом уравнение (24) согласуется с результатом (15), полученным из
рассмотрения обобщенной жесткости и обобщенной массы для колебаний,
происходящих под указанным углом 0.
Приведенный выше геометрический вывод легко проверяется вычислением ре и
р0и из (21), (18) и (16). Это дает
ре = - сот (к2 + /^"^exp [г (соt - кх - ly - mz)] (26)
и
р0и = [- кт, (Zc2+ Z2)-1, -1т (к2 -J- Z2)~\ 1] q1 ехр [i (соt -
- кх - ly - mz)], (27)
где вектор и перпендикулярен волновому вектору (к, I, т) и компланарен с
ним и с направлением z.
Тот факт, что ре и и совпадают по фазе, означает, что волны создают
ненулевой поток волновой энергии
I = Ре и = (р - Ро) и. (28)
Мы знаем из разд. 1.3, что для звуковых волн такой поток волновой энергии
(28) называется акустической интенсивностью
4.2. Объединенная теория звуковых и внутренних волн
355
и, подобно скорости частицы и, направлен под прямым углом к гребням
(поверхностям постоянной фазы). Наоборот, для внутренних волн скорость
частицы и параллельна поверхностям постоянной фазы, так что н поток
волновой энергии (28) должен быть также направлен параллельно
поверхностям фазы. Этот неожиданный результат будет подтвержден в
следующем разделе, а многие из его следствий предполагается обсудить
более обстоятельно в оставшейся части настоящей главы.
4.2. Объединенная теория звуковых и внутренних волн
Методика вывода дисперсионного соотношения для внутренних волн,
изложенная в разд. 4.1 (использующая уравнения движения, чтобы получить
(24), или энергетические соображения вместе с геометрическими,
приведенными на рис. 72, чтобы получить (15)), достаточно проста. Тем не
менее изложенные методы, возможно, не вполне убедительны, поскольку они
принимают во внимание избыточную плотность, являющуюся следствием
вертикального перемещения, в одном случае (влияние силы тяжести в
уравнении количества движения), но пренебрегают скоростью ее изменения в
другом случае (уравнение неразрывности).
Один из путей нахождения условий, при которых эти методы могут дать
хорошее приближение,- это сравнение отбрасываемого члена dpjdt, который,
согласно (21), равен g~lN2q, с одним из членов, сохраняемых в уравнении
неразрывности (17), а именно с dq/dz. Это наводит на мысль о том, что
волновые числа должны быть большими по сравнению с у~гЫ2, чтобы
сохраняемый член был большим по сравнению с пренебрегаемым членом. Может
также возникнуть мысль о необходимости спросить, имеем ли мы основание
предполагать, что избыточные плотности ре возникают только вследствие
вертикального перемещения до некоторого уровня с другим гидростатическим
давлением р0. Сжимаемость жидкости допускала бы дополнительные изменения
плотности с~2ре, возникающие из-за изменения давления ре на фиксированном
уровне. Из уравнения (18),. однако, следует, что это могло бы внести
незначительное изменение в ре для волновых чисел, больших по сравнению с
gcj (так как решение уравнения (18) для ре было бы тогда величиной
меньшего порядка, чем с((ре).
Эти два предварительных условия для точности приближения Буссинеска тесно
связаны между собой, так как, согласно
23*
356
4• Внутренние волны
(12), величины g^N2 и gc02 складываются:
g-ijyz 4- gc-2 = [_р' (z)/Po (z)]> (29)
образуя относительную скорость уменьшения плотности с высотой. Для
волновых чисел, больших по сравнению с этой суммой, оба условия поэтому
выполнены.
Два фактора, о которых только что упоминалось в связи с тем, что они не
учитывались в приближении Буссинеска, являются, конечно, основными
факторами, определяющими распространение звука; в этом случае сжимаемость
связывает с каждым локальным изменением давления локальное изменение
плотности, которое в свою очередь влияет на дивергенцию поля скоростей.
Таким образом, только благодаря пренебрежению этими эффектами в разд. 4.1
можно было исключить звуковые волны из решений наших уравнений.
Есть три мотива, которые побуждают к изучению в этом разделе полных
линеаризованных уравнений для стратифицированной сжимаемой жидкости,
чтобы найти решения, которые могут включать как внутренние гравитационные
волны, так и звуковые волны. Один мотив состоит в том, чтобы проверить
наши предварительные условия для волнового числа, обеспечивающие
правильность дисперсионного соотношения (24) для внутренних волн. Второй
мотив состоит в том, чтобы найти условия, при которых звуковые волны не
подвержены воздействию гравитации. Случай постоянной энтропии на единицу
массы был рассмотрен в конце разд. 1.2; в этом случае р'0 (z) = [с0
