Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Р: ф->гУЧ, -ф —> — г-фу0- (21,10)
При спинорном представлении г|э матрица у0 переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты | и т). Инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования (21,10) в об-
') Эти равенства можно записать вместе в виде
/+ = vVv° (21>7а)
102 ФЕРМИОНЫ [ГЛ. III
щем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнении
(21,2) р->— р и одновременно ^->гУ)Ф> получим
(A>Y° + PY — rn) Y4 :0.
Умножив это уравнение слева на у0 и учитывая антикоммутативность у0 и у. вернемся к исходному уравнению.
Умножив уравнение (ур — т)т1з = 0 слева на -ф, а уравнение я()(у/5 + т) = 0 справа на ^ и сложив их, получим
Tt’Y1" (Р»$) + (РцЧ>) Y^ = Pv. (4>Y^) = 0.
где скобки указывают, на какую функцию распространяется действие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения непрерывности <Эц/^ = 0, так что величина
Г = ^y4 = (Л. фУ\>ф) (21.П)
представляет собой 4-вектор плотности тока частиц. Отметим, что его временная компонента /° = положительно определена.
Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени:
г^- = Яа|>, (21,12)
где Й — гамильтониан частицы1). Для этого достаточно умножить уравнение (21,2) слева на у0- Для гамильтониана получается выражение
Я = ар + pm, (21,13)
где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц:
® = Y°Y> P = Y°. (21,14)
Отметим, что
а.а* + = 26(ft, ра + ар = 0, р2 = 1, (21 ,.15)
т. е. все матрицы а, р антикоммутируют друг с другом, а их квадраты равны 1; все они эрмитовы. В спинорном представлении
—С -Л »-(! !)•' <21^>
*) Для частицы со спином 0 волновое уравнение не могло быть представлено в таком виде: уравнение (10,5) для скаляра гр — второго порядка
по времени, а система (10,4) уравнений первого порядка для пятикомпонентной величины (гр, грц) содержит производные по времени не от всех компонент.
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
103
В предельном случае малых скоростей частица должна описываться, как и в нерелятивистской теории, всего одним двухкомпонентным спинором. Действительно, перейдя в уравнениях
(20,5) к пределу р->-0, е-> т, получим | = т], т. е. оба спинора, составляющие биспинор, совпадают друг с другом. Здесь, однако, проявляется недостаток спинорной формы записи уравнения Дирака: при предельном переходе остаются отличными от нуля все четыре компоненты г|з, хотя в действительности лишь две из них независимы. Более удобно такое представление волновой функции 1|з, при котором в пределе две из ее компонент обращаются в нуль.
Соответственно этому введем вместо % и т] их линейные комбинации ф и %:
Тогда для покоящейся частицы % = 0. Это представление ip будем называть стандартным. При инверсии ф и % преобразуются сами через себя согласно
Уравнения для ф и % получим, складывая и вычитая уравнения (20,5):
Отсюда видно, что стандартному представлению отвечают матрицы
Поскольку в (21,17) складываются отдельно первые и вторые компоненты | и т), то в стандартном представлении, как и в спинорном, компоненты i|)i и г|з3 отвечают собственным значениям проекции спина + l/2, a i|)2 и 1)34 — проекции —‘/2- В обоих этих
представляет собой трехмерный оператор спина: при действии У22г на биспинор, содержащий лишь компоненты 1|зь г|)3 или 1|э2, -ф4, биспинор умножается на 4-’/г или —1/2. В произвольном представлении эта матрица может быть записана в виде
(21,18)
?оФ — pffX = тц>, — РоХ + Р<Щ> = m%-
(21,19)
(21,20)
представлениях, следовательно, матрица 1/2Ъ, где
(21,21)
2 = — ау5 = — у [аа]
(21,22)
"(определение \5 см. ниже, (22,14)).
104 ФЕРМИОНЫ [ГЛ. III
Задачи
1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно
малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте.
Решение. В спинорном представлении i|) при бесконечно малом преобразовании Лоренца
Б' = (i —5"eev) Б. t)' = (i+-1-o6v)t)
(см. (18,8), (18,8а), (18,12)), Обе формулы можно записать вместе в виде
= ^a6v)i|>. (1)
Аналогичным образом закон преобразования при бесконечно малом повороте:
1>' = (1+4-Zee)l)- (2)
В таком виде формулы справедливы в любом представлении i|), если понимать под а и 2 матрицы в том же представлении.
Легко гроверить, что матрицы а и 2 составляют компоненты антисим-
метричного «матричного 4-тензора»
^v=-^yV-yV) = (cuz)
(перечисление компонент дано по правилу (19,15)). Введем также бесконечно малый антисимметричный тензор 6eM,v = (6V, 66). Тогда
a^epiv = 2/260 — 2a6V
и обе формулы (1—2) можно записать в едином виде:
•Ф' = (1 + ij>. (3)
2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов (Е. Majorana, 1937).
Решение. В стандартном представлении в уравнении
(ж + ах^ + ау^ + а2~§г + 1тр) * = 0
мнимыми являются лишь матрицы ау и /р. Эту мнимость можно устранить, произведя такое преобразование т|/ = ?/i|), в результате которого мнимая матрица ау переставится с вещественной матрицей р. Для этого надо положить
и = -^(ау + М = и-К
Тогда
ax=UaxU=-ax, a' = Р, a'z=-az, Р ' = <*„,
и уравнение Дирака приобретает вид
