Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 18. Связь спиноров с 4-векторами
Спинор с одним пунктирным и одним непунктирным индексом имеет 2-2 = 4 независимые компоненты — как раз столько, сколько компонент имеет 4-вектор. Ясно поэтому, что тот и другой реализуют одно и то же неприводимое представление собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно иметься определенное соответствие.
Для установления этого соответствия обратимся прежде всего к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учитывая, что по отношению к чисто пространственным вращениям поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым.
Для трехмерного спинора 1|з“Р имеют место формулы соответствия (см. ГП, § 57), которые мы запишем здесь в виде
ах = у (М>** — Ч>1') = 4 (^2i + Ф'г).
= — -j (Ф22 + V1) = y МЛ — гЛ).
a* = -у (Ф12 + 'Ф21) = у СФ\ — №),
где ах, а у, «* — компоненты некоторого трехмерного вектора а. Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компоненты
(18,1)
88 фермионы [гл hi
i|)a3 на ?a^, а под ах, ау, az понимать контравариантные компоненты а1, а2, а3 4-вектора. Что же касается выражения для четвертой компоненты вектора, а0, то его вид заранее ясен из отмеченного в § 17 обстоятельства: величина (17,6) должна преобразовываться как а0. Поэтому а0 + ?22; коэффициент пропорциональности определяется так, чтобы скаляр сов-
падал со скаляром 2= 2а2.
Таким образом, мы приходим к следующим формулам соответствия:
а3=4(?п'-^)> а° = 4(епЧе22).
Обратные формулы:
?и' = ^ = а3 + а°, ?2i = ?i. =йо_аз>
?12 = — S2j = а1 — ia2, I21 = — == а1 + ш2.
При этом
^ = 2 а\ (18,3)
Отметим также, что
?„*?* = Ф2- (18,4)
Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга
(18,2)
эу антисимметричен по индексам ау и потому пропорционален метрическому спинору.
Соответствие между спинором и 4-вектором является частным случаем общего правила: всякий симметричный спинор ранга (k, k) эквивалентен-симметричному неприводимому (т. е. обращающемуся в нуль при упрощении по любой паре индексов) 4-тензору ранга k.
Связь между спинором и 4-вектором можно записать в компактном виде с помощью двухрядных матриц Паули1):
*=(! о)-.а»=(/° "«О* **=(о -!)¦ (18>5)
Если обозначить символически посредством ? матрицу величин
с верхними индексами (причем первый — непунктнрный), то
*) Для упрощения обозначений операторы (матрицы), действующие на
спиновые переменные, будем обозначать буквами без шляпок.
§ 18] СВЯЗЬ СПИНОРОВ С 4-ВЕКТОРАМИ 89
формулы (18,2) записываются в виде
? = а<х + а° (18,6)
(во втором члене подразумевается, конечно, произведение а0 на единичную матрицу). Обратные формулы:
a.=4sP(&0, a° = i-Sp?. (18,7)
С помощью формул (18,6—7) можно установить связь между законами преобразования 4-вектора и спинора и тем самым выразить закон преобразования спинора через параметры поворотов 4-системы координат.
Запишем преобразование спинора в виде
?' = №\ я = (“ ?), (18,8)
где В — двухрядная матрица, составленная из коэффициентов бинарного преобразования. Тогда преобразование пунктирного спинора:
Л*' = (В’т))$ = М+)$. (18,9)
а преобразование спинора второго ранга ~ ?ат/ запишем символически как ?' = в?в+1). При бесконечно малом преобразовании В = 1 + X, где X — малая матрица, и с точностью до малых величин первого порядка
?'=е + (ле+'ея,+). (18.Ю)
Рассмотрим сначала преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся с бесконечно малой скоростью 6V (без изменения направления пространственных осей). При этом 4-вектор = (а0, а) преобразуется согласно
а' = а — a0 6V, a0/ = a°-a6V. (18,11)
Воспользуемся теперь формулами (18,7). Преобразование а0 можно представить, с одной стороны, как
а* = а0 - a 6V = а° — ^ Sp (?а 6V),
а с другой стороны, как
а0' = 1 Sp ? = а0 + ± Sp(^ + ?Я+) = а0 + ± SpC(A, + Х+).
*) Для ковариантных компонент:
= = % = (ЛВ-% (18,8а)
(так, чтобы произведение двух спиноров ?аЕа оставалось инвариантным).
90
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ UI
Эти выражения должны совпадать тождественно (т. е. три произвольном ?). Отсюда находим следующее равенство:
Я + Л+ = -а6У.
Таким же способом, рассмотрев преобразование а, получим
а\ + Х+а = — 6V.
Эти равенства как уравнения для X имеют следующее решение:
A, = A,+ = -l06V.
Таким образом, бесконечно малое преобразование Лоренца спинора ?а осуществляется матрицей
5=l-l(on)6F, (18,12)
где п — единичный вектор в направлении скорости 6V. Отсюда легко найти преобразование и для конечной скорости V. Для этого вспомним, что преобразование Лоренца означает (геометрически) поворот 4-системы координат в плоскости t, п на угол ф, связанный со скоростью V равенством th ф = Vм). Бесконечно малому преобразованию соответствует угол бф = 6F, а поворот на конечный угол ф осуществляется ф/бф-кратным повторением поворота на 6ф. Возводя оператор (18,12) в степень ф/бф и переходя к пределу бф -> 0, получаем
в==е~Та\ (18|13)
Математический смысл действия этого оператора выясняется, если заметать, что по свойствам матриц Паули все четные степени от по равны 1, а все нечетные степени равны по. Учитывая, что ch разлагается по четным, a sh — по нечетным степеням аргумента, получаем окончательно
