Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
114
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. III
Таким образом,
ф — ARplQjlm> X—BRpl'Q/1'т,
(24,6)
и остается определить постоянные коэффициенты А и В. Для этого исследуем удаленную область, в которой сферическую волну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотической формуле III (33,12)
так что ф представляет собой разность двух плоских волн, распространяющихся в направлениях ±п(п = г/г). Для каждой из них имеем согласно (23,8)
Из сказанного выше (формулы (24,6)) ясно, что (no) — айц'т, где а — постоянная. Эту постоянную легко определить, сравнив значения обеих сторон равенства при т = 1/2 и направлении п вдоль оси z. Использовав (7,2а), найдем
Собрав написанные формулы и сравнив с (24,6), получим
Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой ф. Нормируя ф условием
Таким образом, при заданных значениях / и т (и энергии е)1 существует два состояния, различающихся своей четностью. Последняя однозначно определяется числом I, принимающим значения i ± у2: при инверсии биспинор (24,10) умножается на г(—1)'. Компоненты этого биспинора, однако, содержат шаровые функции обоих порядков I и V, в чем выражается отсутствие определенного значения орбитального момента.
При г-+оо в каждом небольшом участке пространства сферические волны (24,7) можно рассматривать как плоские с импульсом р = ±рп. Поэтому ясно, что волновые функции в им-
(24,7)
Х = 7Т^(±по)ф-
(24,8)
5 d3x = 2яб/гб,гбтт,б (р - р'), (24,9)
находим окончательно
§24] СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 115
пульсном представлении отличаются от (24,10) в основном лишь отсутствием радиальных множителей и приданием п смысла направления импульса.
Для прямого перехода к импульсному представлению надо произвести разложение Фурье:
tHp') = ^ Ф (г) е~*Р'г rf3jc. (24,11)
Интеграл вычисляется с помощью формулы разложения плоской волны по сферическим (см. III (34,3)):
оо /
**=fii <r> n, (|) (т) • <24'12>
I =0 т=~1
Представляя множитель e~ip’T в (24,11) в виде такого разложения и учитывая (24,5), для компонент Фурье функции
ф(г) = Rpi (г)
получаем
Ч-(Р') (?) 5 S!„m (i) Г1т, (i) do.
Стоящий здесь интеграл равен коэффициентам при шаровых функциях в определении шаровых спиноров (24,2), а вместе с множителем Y[m'(p'/p') снова образует тот же шаровой спинор, но уже от аргумента р'/р':
Ф (р') = -~-^(р'-р) г%т (?).
Применив этот результат к биспинорной волновой функции [(24,10), получим ее импульсное представление
<Р')=«о.- ¦- р) ^ {рх\). <24,13,
Р-v2е \Ve-mi С2/Гт (р /р ) /
Состояния | pjlmy совпадают с рассмотренными в § 16 состояниями |р/т|Л|> (где |^| = J/2): те и другие обладают определенными значениями pjm и четности. Поэтому шаровые спиноры Q/im выражаются через функции (те и другие — от аргумента р/р). При р->0 волновые функции (24,13) сводятся к 3-спинорам Зит, четность которых Я = т](—1)' (где т] ^ г — «внутренняя четность» спинора). Сравнение с результатами §"16 приводит к следующей формуле:
апш = 1,^Щ?^-'Ыт1,т±^>Щ'т) (24,14)
(при 1= j Ч2 ’/г), ГДе W<-K) — 3-спиноры (23,14),
116
ФЕРМИОНЫ
(ГЛ. Ill
§ 25. Связь спина со статистикой
Вторичное квантование поля частиц со спином у2 (спинор-ного поля) производится таким же образом, как это было сделано в § 11 для скалярного поля.
Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу выражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам (11,2):
= I vir (Vv’~‘w+
~ Р° „ , (25,1)
Ч» = №rWipx + Koa-P-°e~ipx)’
ро У&Г
суммирование производится по всем значениям импульса р и по
о = ±V2- Операторы уничтожения античастиц Ьра (как и операторы уничтожения частиц йра) стоят в виде' коэффициентов при функциях, которые по своей координатной зависимости (егРг) соответствуют состоянию с импульсом р *)•
Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необходимости в определении его тензора энергии-импульса (как мы это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае существует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть записано волновое уравнение (уравнение Дирака) (21,12). Средняя энергия частицы в состоянии с волновой функцией г|> есть интеграл
J ф'Яф d3x = * $ Ф* d3x = i J -фу0 -|г d3x. (25,2)
Обратим внимание на то, что «плотность энергии» (подынтегральное выражение) не является здесь положительно опреде-
ленной величиной.
Заменяя в (25,2) функции ф и if на ^-операторы, учитывая взаимную ортогональность волновых функций с различными р или о, а также соотношение й±рау0и+рО = 2е для волновых амплитуд, получаем гамильтониан поля в виде
я <25>3>
Отсюда видно, что в данном случае квантование должно производиться по Ферми:
Ка- ^}+ = 1> {Ко> Va}+ = 1' (25,4)
') Те и другие функции отвечают также одинаковым значениям а проекции спина в системе покоя; для функций ‘ф_р_0 это будет показано в § 26 — см. (26,10).
§ 25] СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОИ 117
а все другие пары операторов а, й+, Ь, Ь+ антикоммутативны (см. III, § 65). Действительно, гамильтониан (25,3) переписывается тогда в виде
Я=Ее(ар+айра+ 5+5ра-1),
и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом бесконечной аддитивной постоянной):
E=Ze(Npa + NPo), (25,5)
