Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным путем мы убе-кдаемся в непрерывности изменения собственных значений при непрерывн )м изменении функции о, содержащейся в граничном условии. Мы можем и здесь заранее предположиіь, что 3) [<р] не превышает некоторой постоянной грани ї).
Тогда, согласно оценке (20), интеграл по контуру f ср2ds, а вместе
г
с тем и интеграл по контуру J* pcPtpds, не превосходит постоянной верх-
г
ней грани. Поэтому, если мы изменим на достаточно малую величину
функцию о в интеграле по контуру J payPds, то этот интеграл .изменяется
г
сколь угодно мало и притом равномерно для всех допустимых функций ср; следовательно, и выражение 33 [ср], а вместе с тем и максимум минимумов !Dfcp], изменяется на сколь угодно малую величину при достаточно малом изменении о.
Совершенно таким же образом получается непрерывность зависимости собственных значений от функции р.
Итак, резюмируя вышесказанное, мы получаем:
ТЕОРЕМА 8. п-е собственное знічение диференциального уравнения L [«] -J-Xpu = 0 для всех рассматриваемых граничных условий изменяется непрерывно при непрерывном изменении коэфициентов диференциального уравнения.
ТЕОРЕМА • 9. п-е собственное значение изменяется непрерывно при непрерывном изменении содержащейся в граничном условии
^ -J- си = 0 функции а.
Исследуем, наконец, свойства непрерывности п-го собственного значения, рассматриваемого > как функция области G, и покажем, что
*) Например, остается меньше чем п-е собственное значение прн граничном условии и — 0 для какого-нибудь квадрата, лежащего внутри области G. Ибо согласно теоремам 3 и 5 n-є собственное значение для.области G при первоначальном граничном условии не может быть больше, чем п-е собственное значение' для такого квадрата при граничном условии н = 0. Поэтому, если ограничить этой верхней гранью допустимые значения 3)[?|, то это не повлияет на решение данной вариационной проблемы.
Таким образом интеграл f ср2 dx dy остается ограниченным для всех
о 398
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
если облггсть G' достаточно мало отличается от области G, то и п-е собственное значение для области G' при соответствующих граничных условиях сколь угоано мало отличается от- л-го собственного значения для области G. При этом мы должны, однако предварительно уточнить понятие достаточно малого изменения области Gi
Если граничные условия содержат производные по нормали, то мы не можем ограничиться обычным в топологии требованием, чтобы точки границ областей G и G' были соответственно достаточно близки между собой, но должны присоединить, еще условие, чтобы направления нормалей к границам этих областей в соответствующих точюх достаточно мало отличались друг от друга. В самом деле, можно показать, что если области GhG' сколь угодно близки между собой в более слабом смысле, то. п-е собственное значение может изменяться на конечную величину при бесконечно малом изменении области Gl).
Аналитически мы можем выразить эту достаточную близость областей G и G1 в более сильном смысле следующим образом.
Пусть область G, включая границу, переходит в область G1 с помощью тбчечного преобразования:
x'=jc+g(x,y), y'=y-\-fi(x,y), (21)
где функции g и h во всей области G непрерывны и имеют кусочно непрерывные первые • производные. Если при этом функции g(x, >) и
») Приведем следующий пример: пусть L [<р] = Дї, р = 1 и пусть область G представляет собой квадрат со стороной, равной единице. Построим второй квалрат Ое со стороной е, лежащий вне квадрата G против середины одной из ст рон G на расс:оянии є от нее, и пусть стороны G4 параллельны сторонам G. Внутреннюю область квадрата Gs мы соединяем с внутренней областью кваграта G поперечной полоской S, ограниченной двумя прямыми длины є, отстоящими одна от другой на расстоянии і]. Пусть область G' состоит из квадратов G и Ge и полоски S. Первое собственное значение для области G' при граничном условии
= 0 равно нулю и соответствующая собственная функция есть ui = const. Если
выбрать ширину ij полоски S достаточно малой по отношению к числу є, то мы сможем и второе собственное значение для области G сделать сколь угодно малым.
В самом деле, рассмотрим в G' функцию <р, которая в Ge равна —--, в G равна
постоянной с, а в S линейно убывает от с до —Выберем с так, чтобы иН-
теграгс от (р, взятый по области G', обратился в нуль.
Если є достаточно мало, то с сколь угодно мало отличается от нуля. Инте-
У)
грал D [у J1 взятый по области G', будет поэтому порядка —.Если мы положим теперь г, — є* то этот интеграл будет скаль угоднб мал, тогда как интеграл от у2, взятый по G, сколь угодно мало отличается от единицы. Отсюда следует на основании классического минимального свойства собственных значений и собственных фу кций, что второе собственное значение для области G' будет сколь угодно малым.
Если мы теперь будем приближать є к нулю, то второе собственное значение для области G' будет стремиться к нулю, еслн ~ стремится к нулю. Но
второе собственное значение для области G положительно; оно, следовательно, не является пределом второго собственного значения для области G', несмотря на то, что граница области G' неограниченно приближается к границе области G. §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 399
