Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
2)[<р] _ 2)[<р]
\\pfdx dy [[p'fdx dy' о Ъ"
Отсюда следует, что и нижняя грань левой части этого неравенства не может быть меньше (или Соответственно при р' р больше} нижней грани правой части. При этом, образуя нижнюю грань стоящего справа выражения, мы должны в соответствии с заменой функции р функ- 390
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
¦цией р' брать вместо функций Vi функции V1- = V1-. Так как системы
, P
функций Vi пробегают все множество допустимых CHCfeM функций, когда системы функций Vt принимают "все возможные допустимые значения, то отсюда следует, что максимум всех нижних граней для выражения, стоящего слева, не может быть меньше максимума всех нижних граней выражения, стоящего справа, откуда следует, что максимум этих нижних граней, т. е. п-е собственное значение, изменяется в направлении, противоположном направлению изменения функции р.
2. Неограниченное возрастание собственных значений. Докажем, что собственные значения Xn рассматриваемых вариационных проблем неограниченно возрастают при возрастании п; в частности из этого будет следовать, что всякое собственное значение имеет только конечную кратность и что только конечное число собственных значений могут бы Jb отрицательными. Важнейшим следствием, вытекающим из неограниченного возрастания собственных значений, является, как мы увидим в § 3, 1, свойство полноты системы собственных функций, откуда, далее, будет следовать, что система собственных функций вариационной проблемы совпадает с системой собственных функций диференциального уравнения.
Для доказательства (при этом нам не придется пользоваться условием, что д^>0) обозначим через рм, qM, рм наибольшие, а через Pm' Чт< Pm наименьшие значения функций р, q и р внутри G и рассмотрим сначала случай граничного условия и = 0. Если мы заменим в выражениях 2) и H функции р, q и р постоянными рт, qm и рм или соответственно постоянными рм, qM и рт, то мы получим новые вариационные проблемы с собственными значениями X' и X". На основании теоремы 7 имеют место неравенства Vn ^Xn =? Но нетрудно убедиться, что собственные значения Х'п неограниченно возрзстают. Например, для случая одного независимого переменного мы можем решить в явном виде соответствующее - диференциальное уравнение с помощью тригонометрических функций, причем собственными значениями этого диференциаль-
л цЦя
ного уравнения являются числа —-- (v = I, 2,...). Так как соб-
Pm
ственные значения X' соответствующей вариационной проблемы содержатся в этой последовательности собственных значений диференциального уравнения, то отсюда непосредственно вытекает наше утверждение, что ~кп — со.
Если; далее, принять во внимание, что, как мы упомянули выше и как нами будет скоро доказано, собственные значения вариационной проблемы образуют не только часть множества собственных значений диференциального уравнения, но полностью его исчерпывают, то в нашем слу«ае
Чт у Pm А----, Л —--, §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 404
и отсюда следует, что отношение ~ при неограниченном возрастании
п остается конечным и содержится между двумя положительными границами.
Чтобы оценить собственные значения X^ для случая большего числа измерений и для любой области G, сравним с собственными значениями X* для квадрата, лежащего целиком внутри области G; собствен ные значения X* целиком принадлежат множеству собственных значений" соответствующего диференциальнрго уравнения, которые, как мы уже доказали в гл. V, § 14, неограниченно возрастают при возрастании п. Так как на основании теорем 3 и 7 X* =?In, то отсюда следует, что и Хя-*оо при неограниченном возрастании п.
Мы не останавливаемся здесь на проведении этих рассмотрений для случая других граничных условий, тем более что из более точной ас-симптотической оценки собственных значений, которую мы получим ниже, -само собой, будет, следовать неограниченное их возрастание. Приведем вместо этого другое доказательство неограниченного возрастания собственных значений, которое, по сравнению с приведенным только что доказательством, обладает тем принципиальным преимуществом, что не предполагает знания решений вариационных проблем в отдельных частных случаях1).
Рассмотрим сначала случай одного независимого переменного. Пусть рассматриваемая вариационная проблема имеет бесконечное множество собственных значений X1, X2, ... , не превосходящих по своему абсолютному значению некоторой положительной верхней грани. Тогда из ограниченности совокупности чисел
.V2 -vI
К = J (Рип 4" 9Ul) dx + V« (*l)2 + V« (*«)* И \ VuIdx
X, X1
непосрёдственно следует ограниченность совокупности значений'
X1 Xi
^ u'n2dx и ^ u2ndx,
Xi X,
если постоянные A1 и A2 не отрицательны (от этого ограничения легко освободиться на основании замечаний п. 5).
Воспользуемся теперь следующей леммой: если для некоторого множества функций f (х) интегралы {y,'2dx и ^dx ограничены, то функ-
Ь а
ции <р (*) равномерно непрерывны и равномерно ограничены в своей совокупности (см. гл. II, стр. 52). На основании принципа предельных точек (гл. II, § 2) можно поэтому выделить из последовательности собственных функций ип равномерно сходящуюся подпоследовательность. Если мы
