Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
OFm дРи dFik = ^ дХі дхи ^xI Определив понятие параллельного переноса, можно без затруднений построить геометрию и тензорное исчисление.
а. Геодезическая линия. Пусть дана точка Р, а в ней — вектор. Тогда геодезическая линия, исходящая из данной точки в направлении данного вектора, определяется требованием, чтобы вдоль 520 Г. Вейль
нее вектор сдвигался параллельно самому себе в своем собственном направлении. При соответствующем выборе параметра х дифференциальное уравнение геодезической линии записывается в виде
і р j dxr dxs _л
dx2 rs dx dx
(Естественно, что ее здесь нельзя считать линией кратчайшей длины, так как понятие длины кривой не имеет смысла.)
б. Тензорное исчисление. Чтобы, например, из ковариантного тензорного поля порядка 1 и веса 0 с компонентами ft получить путем дифференцирования тензорное поле второго порядка, мы воспользуемся произвольным вектором в точке P и построим инвариант вместе с его бесконечно малым изменением при переходе из точки P с координатами Xi в соседнюю точку Pf с координатами Xi + dxi, причем вектор | параллельно переносится при этом переходе. Соответствующее изменение равно
Таким образом, величины, объединенные в скобках справа, являются компонентами тензорного поля второго порядка и веса 0, построенного вполне инвариантным образом из поля /.
в. Кривизна. Чтобы построить аналог тензора кривизны Римана, обратимся к использованной выше бесконечно малой фигуре вида параллелограмма, образованного точками Р, P1, P2 и P12 = P21. Перенося вектор $ = (?г), взятый в точке Р, параллельно самому себе в точку P1, а оттуда в P12 и перенося его в другой раз сначала в P2, а затем в P21, можно (так как точки P12 и P21 совпадают) построить разность двух полученных в этой точке векторов, A?. Компоненты этой разности равны
A Ii = RijI3, (12)
где коэффициенты R1j не зависят от переносимого вектора но зависят линейно от элемента поверхности, которая натянута
на сдвиги PP1 = (dxt) и PP2 = (Sxi):
1
r1J = Rx№ dxk 6xi = у R1jkI Ахм.
Компоненты кривизны RijkU зависящие лишь от точки Р, обладают следующими свойствами симметрии:
1) они меняют знак при перестановке последних индексов & и Z;
2) если взять для ]Ы все три их циклические перестановки и сложить соответствующие компоненты кривизны, то получится 0.
Опустив индекс і, мы получим RijkI — компоненты ковариантного тензора 4-го порядка и веса 1. Не производя расчетов, можно ГРАВИТАЦИЯ .И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 521
также просто показать, что R инвариантным образом распадается на два слагаемых:
первое из которых, Pijkh антисимметрично не только по индексам к, Z, но и по индексам i, j. Уравнения Fik = 0 характеризуют наше пространство как такое, в котором отсутствует электромагнитное поле, т. е. задача переноса длины интегрируема. Уравнения же PiJki = 0, как это видно из уравнений (13), представляют собой инвариантные условия того, что в нашем пространстве отсутствует гравитационное поле, т. е. интегрируема задача переноса направления. Лишь в евклидовом пространстве нет ни электричества, ни гравитации.
Простейшим инвариантом такого линейного отображения, как (12), которое каждому вектору $ ставит в соответствие вектор является «след»
Согласно уравнениям (13), последний имеет вид
уже встречавшийся нам выше. Простейшим инвариантом тензорам типа —1I2Pih является квадрат его модуля
Очевидно, что L есть инвариант веса —2, так как вес тензора F равен нулю. Обозначив через g определитель тензора gik, взятый с обратным знаком, запишем бесконечно малый элемент объема как
Тогда, как известно, максвелловская теория будет определяться электрическим действием, равным интегралу от этого простейшего
инварианта j L dco, взятому по произвольной области. При этом
если вариации gik и ср* произвольны и обращаются в нуль на границах мировой области, то
(13>
L = ^FikFiK
(ho = Yg dx о dx і dxz dxB — Vg dx.
6 ( Lda = \ (SiScpi +TikSgih) da>,
где
1 д {Vg Fih)
VI дхъ 1522 Г. Вейлъ
— левая часть неоднородных уравнений Максвелла (в их правой части стоят компоненты 4-мерной плотности тока), а Tlk — тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Так как L — инвариант веса —2, а элемент объема в тг-мерной геометрии является
инвариантом веса п!2, интеграл \ L dco имеет смысл, лишь если
размерность мира равна п = 4. Итак, при нашем толковании возможность максвелловской теории связана с размерностью 4. В 4-мерном мире электромагнитное действие является просто числом. Что же касается выражения единицы действия в традиционных единицах измерения системы СГС, то о нем можно будет судить тогда, когда на основе нашей теории будет решена физическая задача, поддающаяся экспериментальной проверке, например задача об электроне.
Переходя от геометрии к физике, мы примем по аналогии с теорией Ми [5], что все закономерности природы зиждятся на некотором интегральном инварианте (ср. также [4]) — действии
а именно, от всех возможных 4-мерных пространств реально существующий мир отличается тем, что в любой его области действие принимает экстремальное значение, если рассматривать вариации потенциалов gik и обращающиеся в нуль на границе области. Четырехмерная плотность действия W должна быть инвариантом веса —2. Действие при любых условиях является просто числом; таким образом, наша теория с самого начала учитывает атомистическую структуру мира, которая, согласно современным воззрениям, имеет фундаментальное значение: речь идет о кванте действия. Проще и естественнее всего построить W, приняв
