Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение для коэффициентов w отличается дополнительным множителем JVmn. Ниже будет показано, что в представляющем интерес стационарном случае, когда ь»к = о)тг, этот множитель можно заменить на JV (он) и вынести из-под знаков суммирования, так что w = jVw.
В случае независимых (до включения взаимодействия) молекул из (5) следует, что вклады отдельных молекул в W аддитивны:
Щк¦ = н~2 exP Iі (fc - X
Mb=^1M;,, і и> = |иі>іі л2>а. . .| пм}м,
(5)
+ \wkr (а% [g, ак\) + Wkk- <\ak', [g, ak]]} +
+ w*v ([at, g] ak-y + w*k. <[[a?, g], afc-]>| . (6)
m,>n і m_M> nM <132
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ в ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
[ГЛ. 4
Если, кроме того, у молекул имеется лишь по одной паре резонансных с полем уровней, то знаки суммирования по уровням можно опустить. Для дальнейшего представим кинетическое уравнение (6) в случае независимых двухуровневых молекул в виде:
d(e~> / dg\° X^
-w-=Vж/ + A~2 2-і Лр><[f?>+ Ъ'{g- -
)
-{f'+Vj, g] + lg, /•]/¦>}. (9)
t
f'} (t) = J Д' exp [?<0j («' - f) + ее'] Zj («'), (10)
—00 }
где Дру > 0 и ApjjVj — соответственно относительные разность населенностей и населенность возбужденного уровня /-й молекулы. Операторы поля fj определены так, что в приближении вращающихся волн
^Эф = S3^i + 3- С" (Ii)
І
где О] = I Hf) (rtij I — оператор уничтожения возбужденного состояния /-й молекулы. Сравнивая (1) и (9), находим
, V /-V е»ак
І ~~ Z-i Л j Z-i і (coj — w,.) -ь в ' к к 3 k
_ V АрЯ*"*' м-л
- д, й2 [t (со,., — coj) + е] ' 1
V ь<
cjk = Xm dVeIcехр где и dj — частота и дипольный момент перехода /-й молекулы.
Перейдем к операторам в представлении Шредингера. Согласно (3.3.50) ак = й)( ехр (— ia>kt). Пусть g — функция операторов ак, ак, тогда <dg/dt>° = 0 и (6) принимает вид
= Yi{Wkk'{t) <в*' [g' afc]> + Wkk'{t) й!с1]> + ft»'
+ «4- (t) {[4, g\ak.y + wt*. (t) <[[at g], «И», (13)
где
IOkk- (t) = Wkk' exp (— ico№*), com' = oft — coj;', (14)
и аналогично для й> (і). Заметим, что хотя операторы ак постоянны, средние величины в правой части (13) зависят от времени, так как усреднение ведется по матрице плотности в представлении взаимодействия.
Удобно определить также %-функцию (§3.3):
X (цц*0 = <5с (им*0> <<?>*-»+<»е-и*-«(о\, (15) § 4.5]
вывод озк из кинетического уравнения
133
где мы перешли для краткости к векторным обозначениям. Из (3.2.12) следует
[a. Xl = ItX, Ia+, Xl = ^X- (16)
Полагая в (13) g = % и используя эти правила коммутации, найдем следующее уравнение для %-функции:
+ + + с. jjX=O- (17)
В (17) входит комбинация (і- (w -f- • ц*, т.е. статистика поля определяется лишь эрмитовой частью матрицы w, равной согласно (7) и (14)
шг (/) + (t) = й-2 Yj nm(d/nm-ck) (djmn-cr)* X
jj'm > n
1
Xexp і (k-r. -к'-r]- <V+«Vг) [і ((D J
0W + 8 ' - 1 (®k - tW + 8 J '
(18)
Нас интересует поведение системы при t — t0 —» оо — ведь процедура адиабатического «включения» взаимодействия является лишь вычислительным приемом, реально взаимодействие существует всегда (это не исключает нестационарных импульсных падающих полей, которые описываются с помощью «пакетов» из возбужденных мод с близкими частотами). При сравнении с экспериментом мы отождествляем:
% (tO = —= Ofr. ак (t = ос) = akj (19)
Пусть падающее и, следовательно, выходное поля стационарны, тогда будут представлять интерес только частотно-диагональные компоненты матриц и-и для которых COjc = coft,. При этом квадратная скобка в (18) равна 2яб(штГІ — щ), так что можно заменить JVmn TigiJVk. В результате эрмитовы части матриц >с и w связаны диагональной равновесной матрицей Jf, и можно полагать, что w = JT-w = tv-JT-
Теперь (17) принимает вид
{ + u. (f). (JC. I1* + ±) + (ц - Ж + -^г) • W- it) ¦ fi*} X = 0. (20)
Первые и вторые моменты ПОЛЯ определяются через X следующим образом (ср. (3.3.36)):
<а+> = |о, (21)
(а+а) =IVr = -^r X , (22)
где а+а означает «внешнее» произведение векторов, т. е. тензор с компонентами акак'.
Уравнения для моментов. Из (20)—(22) найдем кинетические уравнения для моментов (которые можно найти также прямо из <134
тепловое излучение в линейном приближении [гл. 4
(13), полагая g = ак или а\ак')\
d <ау* д2х
dt dfidt
= -w(t).(a>*, (23)
dN
dt
Jf-w(t) + W (t) .-_.__.4- э. C
0
X
д__д_
dfi oji*
= (jr-ir)-u>{t) + w+(t).(jr-ir). (24)
Как легко проверить, решения линейных уравнений (23), (24) можно формально представить в виде
Сa(t)} = U*(t-t0)-<a(i0)>, (25)
Ж (t) - JT = U (t - і0)-[Ж (t0) - Jf]. U+ (t-t0y, (26) здесь матрица U (t) удовлетворяет уравнению
Wp-=-w(t).U(t), U(Q) = I (27)
(об использовании матриц при решении систем линейных дифференциальных уравнений см. в книге Беллмана [156]). Обозначим U {оо) = U, тогда (26) с учетом (10) принимает вид ОЗК (4.4.8): Ж' = U - (Ж — Jf)-U+ + Jf- Далее, если начальная ^-функция % (t0) — смещенная гауссова (4.4.15), то (как можно проверить дифференцированием) решение уравнения (20) остается смещенным гауссовым в любой момент времени — изменяются согласно (23) и (24) лишь параметры гауссова распределения — первый и второй моменты.
