Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
операторов во времени, т. е. решить уравнения Гейзенберга. Это легко сделать в случае пустого пространства.
Свободное поле.; Пусть в рассматриваемом объеме источников нет, тогда согласно (3.1.22) операторы рождения и уничтожения зависят от времени гармонически:
at (t) = аке~і<й* а\ (tf ь= aIeia* <'-'•>,
о „ , ш (16)
ак == ак (to) = ак ;
индекс «О» отмечает свободное поле (или нулевой порядок теории возмущений по W, т. е. представление взаимодействия). Из (16) и (9) сразу следует
\a0k(t),a4s,(ty\=bkk.e-iu>k(t~r). (17)
При t = t' это соотношение переходит, конечно, в (9), справедливое и для вынужденных полей. Из (17) и (3.1.18) находим
[El (Z), El (it')] = \Hl. (T), Bl (Z)] = - mkl4 sin со, (t - o,
(18)
[El (t), Hk' (Ґ)] = - 2dkl4 cos со, (t - t').
Отсюда можно с помощью (3.1.19) найти коммутаторы свободных полей в rZ-представлении.
Отметим, что из (17) и (2.4.17) сразу следует среднее число фотонов в одной моде равновесного поля с температурой T:
Nkr S {aUi/) = бкк'Жк. (19)
Заметим также, что согласно (17) и (3.1.26) имеет место связь:
Iak (Z), 4 (Ol = Gk(t~ Z') + G% (Г - t). (20)
Разложение операторов поля в частотный интеграл Фурье.
Как и в классической электродинамике, часто бывает удобно представлять гейзенберговы операторы E (rt), Ek (Z) или ак (Z) в виде частотного интеграла Фурье:
E (rt) = С daе~шЕ (reo), E (reo) = \ dteiatE (rt)
(бесконечные пределы интегрирования опускаем). Здесь обычно используют именно интеграл, а не ряд Фурье (как при пространственном разложении), хотя в принципе нас интересует поведение поля за конечный отрезок времени T и можно было бы заменить реальное поле на периодическое с периодом Т. § 3.2]
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
89
Электрическому полю как реально наблюдаемой величине должен соответствовать эрмитов оператор, поэтому
E (г, a) = E+(г, —а). (22)
Разложение (21) позволяет однозначно разделить поле на две неэрмитовы части, называемые положительно-частотной и отри-цательно-частотной частями::
E (rt) = EW (rt) + E<-)(rt), (23)
OO
EW (rt) = ^ d'se~iME (га), о
о
EW (rt) == ^ йт~шЕ(г&) = [EW (rt)]+.
-OO
В классической теории положительно-частотная часть поля называется аналитическим сигналом [2]. Операторы E (га) вместе с II (по) образуют rco-представление поля. Аналогично можно ввести &о)-представление:
Ek(t) =^dae-iatEk (©),
Ek (со) = Ei (- со) = -L-^dtemEk (Z), (24)
ак (Z) = ^dae-ia>tak (со).
Гейзенберговы операторы Eh (t), ак (Z) также можно аналогично (23) разбить на части, содержащие только положительные или только отрицательные частоты:
Ек(і)=Е(^(і) +Eik^t), (25)
EW (rt) = %Ei+)(t) є4*-'. (26)
н
В случае свободного поля согласно (16)
&w(t)=a%(t), ^"'(0 = 0, а, (со) = afto (cd — со,),
и поэтому положительно-частотная часть поля не зависит от one раторов рождения:
El (Z) = і S ckv (ак^ - 4/V) S S -^iV+itV, (28)
v ±
E^ = і S CkvUkv = [-EjfV, ckv = Cfcefcv- (29) -90
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
Из определений следуют также следующие связи:
E (reo) = ^eikrEk (со), к
Ek (со) = IT3 J dre~ik-rE (reo), (30)
^?(0)) = 2^6 (CO^=COfc).
На конечных этапах расчета суммирование по модам заменяется интегрированием по правилу
2
S--J^S, (31)
ЬЫ' —> yow'o (к — к') (v~ Sn3/L3)
При этом полное (четырехмерное) фурье-разложение электрического поля принимает вид
E (rt) = V1 § dk dmik-r~l(atE (Tfcco) =
2
=ZzT1 f dkdti>eik-r~iat 2 Cfcv [av (fco) — aj (fcio)] (ckv = ekvck).
j v=i
(32)
§ 3.3. Возможные состояния поля
В настоящем разделе приведены основные сведения о базисных состояниях, используемых для теоретического описания ПОЛЯ (подробнее см. [1—3]).
Энергетические и когерентные состояния. Рассмотрим сперва одну моду. В квантовой оптике используют две основные системы «координат» в гильбертовом пространстве возможных состояний поля, образованных собственными векторами оператора энергии Наа+а (или, что то же самое, оператора числа фотонов а+а) свободного поля и оператора уничтожения фотона а. Собственные векторы оператора а, введенные в квантовую оптику Глаубером [1], называются когерентными состояниями, а собственные векторы оператора а+а — энергетическими или фоковскими.
По определению собственных функций и значений (§ 2.2) имеем
(а+а — N) I N} = 0, (1)
(а - *) I *> = 0. (2)
Множества чисел (TV) и {z}, удовлетворяющих (1) и (2), образуют спектр соответствующих операторов. Оператор числа фотонов — эрмитов, и поэтому числа N действительны, а векторы | Ny — § 3.31
ВОЗМОЖНЫЕ состояния поля
91-
ортогональны и образуют полную систему ортов:
(Л71 ЛГ> = Ojvjv-, 21 WXtf I = /. (3)
n
Легко показать, исходя из перестановочных соотношений (3.2.9), что разности N — N' — целые числа и, следовательно, энергия одной моды свободного поля дискретна и кратна величинеЙш, называемой энергией фотона. Для этого подействуем на один из энергетических векторов I N} оператором а+ и предположим, что
