Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы не рассматривали задач теплопроводности с тепловыделением внутри материала. Подход к решению задач с внутренним тепловыделением аналогичен тому, который применялся в предыдущих разделах. Во-первых, из решения соответствующей формы уравнения энергии определяем распределение температуры в материале. Решение зависит от двух постоянных интегрирования, которые нужно найти, задавая два граничных условия. Затем с помощью закона Фурье вычисляем плотность теплового потока через материал.
Внутреннее тепловыделение может происходить при различных явлениях. В твердом материале могут протекать химические реакции, как эндотермические, так и экзотермические. Экзотермические реакции протекают с выделением тепла, а эндотермические— с поглощением тепла из материала, создавая отрицательный источник тепла или тепловой сток. Электрический ток
70 Глава 2
вызывает омический нагрев проводника. Кроме того, тепловыделение может происходить в радиоактивных материалах при ядерных реакциях внутри материала.
в единице объема qc
qG = constant /с= constant
Va
Прямоугольные координаты
В качестве примера задачи с внутренним тепловыделением рассмотрим плоскую стенку с равномерно распределенными по ее объему источниками тепла. Интенсивность тепловыделения
в нашем примере является постоянной величиной. Предположим, что одна поверхность плоской стенки имеет температуру Т\, а вторая теплоизолирована. Геометрия и граничные условия задачи показаны на рис. 2.9.
Уравнение теплопроводности для рассматриваемой задачи имеет вид ///
1F- = 0, (2.54)
^Теплоизолированная у/ поверхность
d2T
Рис. 2.9. Теплопроводность через пло скую стенку при равномерном тепловы делении.
dx2
поскольку предполагается, что распределение температуры является установившимся и одномерным. Двукратно интегрируя уравнение (2.54), находим распределение температуры в виде
Т(х) = -
///
2k
X2 + C{x + C2,
(2.55)
где постоянные интегрирования C1 и C2 определяются из граничных условий.
Первое граничное условие имеет простой вид:
HO) = T1. (2.56)
Второе граничное условие требует, чтобы поверхность X = L была теплоизолированной, или адиабатической. Поскольку к этой поверхности происходит только кондуктивный перенос тепла, уравнение теплоизолированной поверхности записывается следующим образом:
ИТ
= 0,
Я Ix-L =-к
или
dT dx
X=L
= 0.
(2.57)
Таким образом, на теплоизолированной границе твердого материала градиент температуры равен нулю, Используя граничные
Стационарная теплопроводность 7 І
условия (2.56) и (2.57) и соотношение (2.55), находим распределение температуры в твердом теле:
///
Т(х)
Распределение температуры по х подчиняется параболическому закону, причем максимум температуры достигается на теплоизолированной поверхности x = L. Условие максимума температуры dT/dx = 0 удовлетворяется на теплоизолированной поверхности при x = L. Следовательно, максимальная температура стенки определяется соотношением
а"'ь2
T(L) = TMaKC = T{+4G
2k *
Это соотношение можно переписать в безразмерной форме, как показано в примере 1.10:
T л'"і2
1 макс ... і , ЯG и Tx ^1-T" 2kTx *
Следует также отметить, что вся энергия, генерируемая внутри стенки, должна войти в кондуктивный тепловой поток, снимаемый с поверхности X = 0. Через противоположную поверхность тепло не может переноситься, поскольку она теплоизолирована; аккумулироваться в материале энергия тоже не может, поскольку предполагалось, что достигнуты установившиеся условия. Следовательно, баланс энергии на поверхности х = 0 требует, чтобы q \Xda0 — — q'^'V, или
kA-г-dx
JC-O o
Дифференцируя соотношение (2.58), можно показать, что это условие автоматически удовлетворяется.
Задачи с неравномерным тепловыделением или с иными граничными условиями можно решить методом, аналогичным описанному выше.
Цилиндрические координаты
Типичной задачей теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним тепловыделением является задача о проводе, по которому течет электрический ток (рис. 2.10). Сила тока /, электрическое сопротивление провода R. Задана температура поверхности проволоки Т0. Интенсивность тепловыделения в единице объема провода q'^' = I2RIV. Если сила тока и электрическое сопротивление постоянны, интенсивность внутрен* него тепловыделения также постоянна.
72 Глава 2
Одномерное стационарное уравнение теплопроводности с постоянной интенсивностью тепловыделения записывается в цилиндрических координатах в виде (2.21)
dr V
dT \
гчг) +
/гг
aG
= 0.
(2.59)
Двукратно интегрируя уравнение (2.59), находим распределение температуры в проволоке, выраженное через две произвольные
постоянные C1 и C2.
T (г)= C1 In г-
/// 2
Qg г 4k
+ C2. (2.60)
Рис. 2.10. Теплопроводность в цилиндре при равномерном тепловыделении.
Чтобы найти Ci и C2, нужно задать два граничных условия. На первый взгляд мы имеем лишь одно граничное условие
Т(г0) = Т0.
Известно также, что температура должна оставаться конечной во всех точках проволоки. Если попытаться рассчитать температуру на оси проволоки при г = 0 по формуле (2.60), то получим бесконечное значение, если сохранить в формуле член с In г. Чтобы избежать физически нереального значения температуры на оси проволоки, следует принять Ci = 0.
