Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
которая стремится уменьшить /а. Таким образом, имеем
L~!jf = C^Qi-С-1 Q2- (72)
Аналогично
(73)
Рис. 1.12. Две связанные LC-цепочки.
Показано распределение зарядов и токов в общем случае. Стрелками показано
положительное направление токов.
l^ = c-iq2-c-iq3
Так же, как и в п. 1.2, будем рассматривать поведение системы, используя
понятие тока, а не заряда. Поэтому продифференцируем уравнения (72) и
(73) по времени:
г d4" ь dt2 '
L
d4h
dt2
n-i dQх
dt
_ p - ldQz dt
p - \ dQ 2 dt ' n-i dQz dt '
(74)
(75)
Воспользовавшись законом сохранения заряда, получим
dQ i
dt
г dQ 2 . ____________________ .
a' dt ~ a b'
dQ3
dt
(76)
Подставив уравнения (76) в (74), будем иметь связанные уравнения движения
Ld^? = -C-4a + C-i(Ib-Ia), (77)
(78)
Имеем два уравнения движения и поэтому будем искать две нормальные моды.
Мы можем попытаться угадать эти моды, но можем
41
также применить общий метод (см. задачу 1.21). Результат, который мы
получим, имеет вид:
мода 1: /а = /ь, &1 = -;
3 С-1
мода 2: 1а = -1ь, (c)jj =
Заметим, что для моды 1 центральная емкость не получает заряда и ее можно
убрать. Движение зарядов при этом не изменится. Для этой моды заряды СД и
Qs всегда равны по величине и противоположны по знаку. Для моды 2 заряды
Qx и Qs равны по величине и по знаку, а заряд Q2 имеет противоположный
знак и величину, в два раза большую.
Мы специально выбрали три примера (8-10): продольные колебания (рис.
1.9), поперечные колебания (рис. 1.11) и связанные LC-цепи (рис. 1.12),
так как эти системы имеют одинаковую пространственную симметрию и их
уравнения движения и нормальные моды имеют одну и ту же математическую
форму. Эти системы рассмотрены еще и потому, что, обладая двумя степенями
свободы, они являются естественным продолжением простых систем с одной
степенью свободы, которые мы рассматривали в примерах 2-4 в п. 1.2 (см.
рис. 1.3-1.5). Во. второй главе мы обобщим эти три примера для
неограниченно большого числа степеней свободы.
1.5. Биения
Во многих физических явлениях движение представляет собой суперпозицию
двух гармонических колебаний, имеющих различные угловые частоты (c)i и (c)2.
Эти колебания могут, например, соответствовать двум нормальным модам
системы, имеющей две степени свободы. Примером другого рода будут
гармонические колебания, вызванные внешними силами. Источниками таких
внешних сил могут быть, например, два камертона различной частоты. Каждый
камертон издает свою собственную "ноту", которая распространяется в
воздухе как звуковая волна. Движение воздуха, воспринимаемое нашей
барабанной перепонкой, будет суперпозицией двух гармонических колебаний.
Во всех этих примерах математика одинакова. Для простоты допустим, что
оба колебания имеют одинаковую амплитуду и одинаковую фазовую постоянную,
которую положим равной нулю. Запишем суперпозицию ф двух гармонических
колебаний фц и ф2: ф^Лсоэ(c)^, ф2 = Лсозю2^, (80)
ф = ipj -}- ф2 = Л cos wj -j- A cos ю2 /. (81)
Модуляция. Перепишем уравнение (81) в несколько ином виде. Введем два
понятия: "средняя" угловая частота (c)ср и угловая частота "модуляции"
(c)мод:
+ (r)мод = у К-'"Л- (82>
42
Сумма и разность этих частот равны
(r)1 = (r)ср + (r)мод. (r)2=(r)ср -(r)мод- (83)
Теперь выразим суперпозицию (81) через частоты юср и юмод:
¦ф = A cos со11 -f- A cos ю21 = A cos (се>ср? + юмод0 +
+ A cos (юср t - юмод t) = [2A cos юмод t] cos юср t,
т. е.
4> = 4M<w(0">s(r)cp*, (84)
где
Лмод(0 = 2Лсоз<"модг. (85)
Мы можем рассматривать уравнения (84) и (85) как колебания, происходящие
с угловой частотой соср и амплитудой Лмод, которая
зависит от времени в соответствии с формулой (85). Запись супер-
позиции двух колебаний (81) в виде (84) и (85) удобна, если ce>i и со2
близки по величине. В этом случае частота модуляции мала по сравнению со
средней частотой:
в"!"(r)*, Ю"од<€(r)ср.
и амплитуда модуляции Лмод(0 будет лишь незначительно меняться в течение
нескольких "быстрых" колебаний cosce>CJT; поэтому суперпозиции (84) будут
соответствовать почти периодические колебания с частотой юср. В том
случае, когда Лмод-константа, выражение (84) точно соответствует
гармоническим колебаниям с угловой частотой соср. Если се"! мало
отличается от со2, то суперпозицию двух (точно гармонических) колебаний с
частотами ("i и со2 называют "почти гармоническим" или "почти
монохроматическим" колебанием с частотой <аср и с очень медленно
меняющейся амплитудой.
Почти гармоническое колебание. Этот первый пример приводит к важному и
весьма общему результату, с которым мы будем часто встречаться: линейная
суперпозиция двух или нескольких гармонических колебаний, имеющих
различные амплитуды и фазовые постоянные, но принадлежащих к относительно
узкому диапазону частот, дает "почти" гармоническое результирующее
колебание с частотой юср, которая находится в том же частотном диапазоне.
Результирующее движение не будет точно гармоническим, так как амплитуда и
фазовая постоянная не являются постоянными, а лишь "почти постоянными".
