Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
одной нормальной моде колебаний, а вдоль оси у - другой моде. Колебания
вдоль оси х (первая мода) имеют амплитуду Ах и фазу ср1( которые зависят
только от начальных условий хф) и х (0), т. е. от смещения и скорости в
момент t=0. Аналогично для колебаний вдоль оси у (вторая мода) амплитуда
В2
и фаза ф2 зависят только от начальных значений у (0) и у (0).
Нормальные координаты. Заметим, что хотя решения (46) и являются общими,
они не кажутся столь же общими, как, например, решения (43). В этом
смысле нам очень повезло. Естественный выбор координат хну вдоль осей
пружин дал нам независимые уравнения (45), каждое из которых
соответствует одной из мод. С точки зрения общих решений (43) это
эквивалентно тому, что в выражении для ф0 амплитуда А2 равна 0, а для
равна 0 амплитуда Bv Столь удачно выбранные нами координаты хну
называются нормальными координатами.
Предположим теперь, что мы не так удачливы (или предусмотрительны) и
работаем с системой координатх' и у', которая связана с системой хну
поворотом на угол а (рис. 1.8). Из рисунка видно, что нормальная
координата х представляет собой линейную комбинацию координат х' иу'\тоже
следует сказать и о другой нормальной координате у. Если бы мы работали с
координатами х' и у' вместо координат х и у, то должны были бы получить
два "связанных" дифференциальных уравнения с переменными х' ну' в каждом
уравнении.
В большинстве задач, содержащих системы с двумя степенями свободы, не так
легко "на глаз" найти нормальные координаты. Как правило, уравнения
движения для систем с двумя степенями свободы - это два связанных
уравнения. Одним из методов решения таких связанных дифференциальных
уравнений является поиск новых переменных, которые являлись бы линейной
комбинацией первоначальных, неудачно выбранных координат и которые давали
бы не связанные, а разделенные уравнения движения. Такие новые координаты
называются нормальными.
В настоящем примере для получения нормальных координат нам нужно
повернуть оси у' и х' на угол а до совпадения их с осями х и у. В более
общей задаче мы должны были бы использовать бо-
У"
Рис. 1.8. Поворот системы координат.
34
лее общее линейное преобразование координат, чем то, которое может
быть получено простым вращением. Например, более сложное
преобразование следовало бы применить в случае неортогональ-ности пружин
на рис. 1.7.
Общее решение для мод. Не рассматривая какую-нибудь конкретную физическую
систему, предположим, что мы нашли два связанных линейных уравнения
первого порядка не в нормальных координатах:
d2x
о>цХ а12у, (47)
•^| = -а21х-а22г/. (48)
Рассмотрим колебание, соответствующее одной моде. Это значит, что обеим
степеням свободы х и у соответствует гармоническое колебательное
движение, совершаемое с одной и той же частотой и фазой. Таким образом,
х = A cos (со/ ф), у = В cos (со/ + cp), (49)
где со и В!А пока еще неизвестны. Мы имеем
= $¦ = - <5°)
Подставляя уравнения (50) в уравнения (47) и (48), после элементарных
преобразований получим два однородных линейных уравнения относительно
хну:
(ап-со2) х -f avly = 0, (51)
аг\х + ("22 - (r)2) У = 0. (52)
Каждое уравнение, (51) и (52), дает отношение у!х:
и со2- а,.
а12
а$1
(53)
(54)
Естественно, что должно выполняться следующее условие:
со3-аи а21
т. е.
(а1г-<о2)(а22 - со2)-а31а12=0. (55)
Левая часть уравнения (55) представляет собой определитель, составленный
из коэффициентов линейных однородных уравнений (51) и (52):
== ((r)и ю2) (й22 w2) а21а13 = 0. (^6)
хи ai2
1 ^22'
Уравнение (55) или (56) является квадратным уравнением относительно
переменной со2, Оно имеет два решения: со2 и со2. Итак,
2* 35
мы нашли, что существуют два способа, которыми могут быть реализованы
колебания с единственной модой.
Частота oi1 соответствует моде 1, а со2 - моде 2. Геометрическую
конфигурацию, или форму, моды 1 мы получим, подставив в одно
из уравнений (53) или (54) величину со2=
Аналогично
мода 1
мода 2
Bi
=Юу. Таким образом,
ап
со?
мода 1
а12
<02 О] i
(57а)
(576)
А2 а12
После того, как найдены частоты мод и со2 и отношения амплитуд В1/А1 и
В21Аг, мы можем записать наиболее общие выражения для суперпозиции двух
мод:
x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 cos (oV + <Pi) + A2 cos (a>2t + ф2), (58)
y(t) = 47^icos К^ + фО + ^^Д^К^ + фз^
= cos (")tt + ф^) + B2 cos (со2/ -f ф2). (59)
Заметим, что выбор постоянных Аг, фх, А2 и ф3 в уравнении (58)
накладывает ограничения на возможные значения постоянных в уравнении
(59), так как должны удовлетворяться уравнения (57).
Наиболее общее решение уравнений (47) и (48) состоит из комбинации двух
независимых решений, которые удовлетворяют четырем начальным условиям для
х(0), х(0), у(0) и уф). Суперпозиция двух нормальных мод, для которых
четыре константы: At, фх, ф2 и А2-определяются из четырех начальных
условий, представляет собой такое решение. Таким образом, общее решение
может быть записано (хотя не всегда в этом возникает необходимость) как
