Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
246
§ 11. Неавтономные системы
Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом
ехр 'Н\) невырождена. Далее, пусть П - матрица вторых производных функции
ехр "Но по импульсам у,ф. Несложно показать, что К I IК совпадает с
числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля.
Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из § 10. Условия 1) и 3) этой
теоремы заведомо выполнены. Так как h"(X0)6 < 0, то выполнено условие 2).
Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4)
при малых значениях е > 0 имеет n-мерный гиперболический инвариантный
тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор
аналитичен по фё и при г = 0 совпадает с замыканием условно-периодических
траекторий
<р - cot + <р°, Xi = Wit + х°{, ф = ф°, у = 2/°,
ко <Р° + kix*i = mod 27г. i> 1
Постоянная ф° несущественна; ее можно положить равной нулю. В исходной
неавтономной системе у> = wt, поэтому у>° = 0. Проектируя возмущенный n-
мерный гиперболический тор на пространство переменных х, у, <р, получим
?г-мерный инвариантный тор, заполненный условно-периодическими
траекториями с п несоизмеримыми частотами. При этом зависимость координат
х, у от времени задается соотношениями вида (11.5), что и требовалось
доказать.
В типичной ситуации функция h является функцией Морса. Поэтому у нее
всегда найдутся критические точки, в которых h" имеет знак,
противоположный знаку 6. При п = 1 получаем периодические решения
возмущенной задачи, период которых кратен 271'/сс. Этот случай, по
существу, охватывается классической теоремой Пуанкаре о рождении
невырожденных периодических решений (см. теорему 5 § 8). Отметим две
особенности. Во-первых, зависимость возмущенных решений аналитична по е,
а не по у/ё, как в теореме 1. Во-вторых, критическим точкам функции /г, в
которых h"(X°)6 > 0, при е > 0 отвечают возмущенные периодические решения
эллиптического типа; они устойчивы в линейном приближении. Условия их
устойчивости по Ляпунову указаны в работе [123].
В переменных х mod 27т, у, <р mod 2тг траектории условно-периодических
решений (11.5) лежат на n-мерных гиперболических торах, в точках которых
зависимы любые п инволютивных однозначных интегралов системы с
гамильтонианом (11.2). Поэтому рождение большого числа n-мерных
гиперболических торов несовместимо с интегрируемостью возмущенной задачи.
247
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
4. Рассмотрим частный случай, когда функция Гамильтона имеет вид
Н = Но(у) + еН\{х,р), p = ut, ш > О, (И-6)
где Я0 = (]Г ачугУ])/2 - положительно определенная квадратичная форма с
постоянными коэффициентами, а возмущающая функция Н1 -тригонометрический
многочлен по ж Г,'... ,хп, р.
Изучим, следуя работе [71], задачу о наличии полного набора коммутирующих
интегралов в виде формальных степенных рядов
Y^Fk{x,y,p)ek (11.7)
с однозначными и аналитическими коэффициен тами, определенными в прямом
произведении Т" х К" х Tj,.
Пусть ? = (?о,?ь ••• ХО* П = (Яо, J7j Пп) ~ Два вектора из
Kn+1. Положим {?,г}) = оуо + Ясно, что ( , ) задает
скалярное произведение в Kn+1.
Положим Hi = hr exp[j(r0tp + Т\Х\ + ... + тпхп)\ и введем "спектр" Д
функции Н\ как множество тех т € Zn+1, для которых hT ф 0. Множество Д
конечно и инвариантно при подстановке т -> - т.
Теорема 2 [71]. Гамильтонова систем а с гамильтонианом (11.6) допускает л
коммутирующих интегралов вида (11.7), независимых при е = 0, в том и
только том случае, когда точки множества Д лежат на п прямых,
ортогонально (в метрике ( , )) пересекающихся в начале координат.
Достаточность теоремы 2 очевидна: в этом случае переменные в функции Г
амильтона разделяются и уравнения движения имеют п интегралов,
квадратичных по импульсам. Например, в условиях теоремы 2 при n= 1
функция Н\ имеет вид f(kx+ lip), где /(•) - некоторый тригонометрический
многочлен от одной переменной, а целые числа к и I взаимно просты. При к
ф 0 интегралом служит функция 1у/к + Но(у) + sf(kx + Ip). Случай А: = 0
тривиален: функция Но - интеграл уравнений движения.
Необходимость условий теоремы 2 установлена в [71] методом работы [97]
(см. § 5).
5. Предположим, что точки из Д не лежат на одной прямой; в противном
случае система с гамильтонианом (11.6), очевидно, вполне интегрируема.
Введем вершину а множества Д и присоединенную вершину /3; векторы а и /3
линейно независимы. Положим Y = (ш,уи... ,уп).
Теорема 3. Предположим, что
1) отношение 2(а. В)/(а. а) не равно ни одному из чисел 0, -1,
248
§ 11. Неавтономные системы
2) при всех целых j ^ 0 компоненты каждого вектора ja + (3 взаимно
просты.
Тогда на каждой плоскости 7Г, = {у <Е R'1 : (Y.ja + /3) = 0} имеется
такое подмножество Wj{e0), что для всех у <Е IV,-(ё0) при О < е < ?о
гамильтонова система с гамильтонианом (11.6) в переменных х mod 27Г, у,
<р mod 2л обладает гиперболическими н-мерными торами, непрерывно
зависящими от е. При этом для каждого j ^ 0 найдется такое ?o(j) > 0, что
