Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
поверхности, лежащие на трехмерном уровне интеграла энергии. Как правило,
в интегрируемых системах эти поверхности разделяют области с различным
топологическим типом фазовых траекторий (вспомним фазовый портрет
простого маятника). Поэтому асимптотические поверхности иногда называются
сепаратрисами.
Следует иметь в виду, что поверхности определены "в целом" и аналитически
зависят от ? (достаточно продолжить асимптотические траектории на всю ось
времени). Напомним (см. п. 3 § 2 гл. II), что п-мерная поверхность Е С
М2п называется лагранже-вой, если значение 2-формы П на касательных к Е
векторах равно нулю.
Существование лагранжевых асимптотических поверхностей для
гиперболических положений равновесия с разной степенью общности было
установлено Ляпуновым, Кнезером, Болем. Случай гиперболических
периодических решений рассмотрен впервые Пуанкаре [146, гл. VII].
Предположим, что при е = 0 гамильтонова система вполне интегрируема:
существуют п аналитических интегралов р,.... Гп. попарно находящихся в
инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор Т(tm)
нерезонансный, и поверхности состоят целиком из асимптотических
траекторий, то функции Fj постоянны на Л^. Таким образом, содержатся в
некотором замкнутом множестве {z Е М2п: Fi(z) = щ,..., Fn(z) = с"},
причем, согласно результатам § 9 гл. II, точка с = (щ,... ,с") Е Йп
является критическим значением отображения F : М2п -> Rn.
Для типичной интегрируемой системы имеют место две возможности:
1) Л+ = V;
2) совпадают устойчивая и неустойчивая поверхности различных
гиперболических m-мерных торов Г; и Гг.
В обоих случаях асимптотические решения будут двоякоасимп-
254
§ 1. Асимптотические поверхности и их расщепление
тотическими. Следуя Пуанкаре, разделим двоякоасимптотические решения на
два типа: гомоклинные (при Ti = Г2) и гетероклин-ные (при Г\ ф Г2). В
гетероклинном случае сдвоенные асимптотические поверхности будем по-
прежнему обозначать Лц и Л^.
Как заметил впервые Пуанкаре [225], в типичной ситуации при малых
значениях параметра е ф 0 возмущенные поверхности Л+ и Л",
рассматриваемые как подмножества в М2п, уже не будут совпадать. Это
явление называется расщеплением асимптотических поверхностей. Оно
препятствует интегрируемости возмущенной гамильтоновой системы (см. § 2).
Может, конечно, оказаться, что возмущенные гиперболические торы Гi(f) и
Г2(е) лежат на разных энергетических поверхностях. Поскольку
асимптотические поверхности расположены на тех же энергетических уровнях,
что и соответствующие гиперболические торы, то в этом случае задача о
расщеплении поверхностей Л+ и At7 тривиальна. Поэтому в дальнейшем будем
предполагать, что торы ГДе) и Г2(е) лежат на одной и той же (2п - 1)-
мерной поверхности уровня интеграла энергии. В гомоклинном случае это.
условие, очевидно, выполнено автоматически.
Пуанкаре получил условия расщепления асимптотических поверхностей для т =
1. Излагаемый ниже анализ задачи о расщеплении выполнен Д. В. Трещёвым.
2. Пусть t -> 7(i)-двоякоасимптотическое решение невозмущенной вполне
интегрируемой гамильтоновой системы. Положим
В этих формулах х-аналитическая функция, определяемая в канонических
координатах для гиперболических торов уравнением
где ф) = Н\(x,y,z ,2+)|у=0 г±==0 и (р) = (2тг) т /т" ф)(1тх.
Ввиду предположения о сильной несоизмеримости частот щ,..., vm уравнение
(1.4), действительно, имеет аналитическое ре-
т
lim [ Г {Fi,{FJ,H1}}('y(t))dt +
т- > J j
+ {^,{ад}(7(-Т)) - {Я, {^> *}}№)) .
(1.3)
(1.4)
255
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
шение, единственное с точностью до аддитивной постоянной. Вопрос об
аналитической продолжимости х на все фазовое пространство не имеет
смысла, так как в формулах (1.3) участвуют лишь значения функции в
окрестности гиперболических торов.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения.
1. Пределы (1.3) существуют.
2. Если Г ф 0 хотя бы для одного s (1 ^ s ^ п), то при малых значениях е
ф 0 поверхности Л? и А~ не совпадают.
3. Если 11(7) = ... = /"(7) = 0 и ранг матрицы ||Jy(7)|| равен n- 1, то
при малых е n-мерные поверхности Л+ и А~ пересекаются трансверсально на
(2 п - 1 )-мерном уровне энергии по двоякоасимптотической траектории
причем у? -* у при е -> 0.
Замечание. При F\ = Н0 условие rank||Jy|| = п - 1 равносильно
невырожденности (n - 1) х (п- 1)-матрицы \\Jfj || (2 ^
^ г, j ^ п).
Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим результатом
симплектической топологии: в некоторой окрестности U каждой точки
лагранжева подмногообразия Л симплектическо-го многообразия (M,Q)
найдутся канонические координаты р. q, в которых Q - dp Л dq, и множество
Л П U задается уравнением р = 0 [13]. Например, пусть лагранжева
поверхность Л задана уравнением у = dS/dx (см. § 2 гл. II). Тогда
координаты р, q вводятся каноническим преобразованием q = х, р = у -
dS/dx.
Возмущенные асимптотические поверхности Л* в специальных канонических
координатах для поверхности имеют вид
