Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
дМ дМ 0 ? 2 / п
с\- h с2-- = 0. Поле и ненулевое, поэтому cf + ci ф 0.
dqi dq2
Если отношение ci/c2 иррационально, то М = const. Пусть d/c2 = к/l, где
к,1 - взаимно простые целые числа. В этом случае М есть функция только от
переменной
ipi = lqx - kq2. (8.30)
По теореме Везу, найдутся два целых числа г, s, для которых кг + + Is =
1. Положим
<Р2 = rqi + sq2. (8.31)
Соотношения (8.30), (8.31) задают автоморфизм двумерного тора. Расширяя
это преобразование до канонического, приходим к случаю, когда
гамильтониан Н не зависит от угловой координаты <р2. Таким образом, если
имеется нетривиальное поле симметрий первой степени, то имеется скрытая
циклическая координата.
5. Доказательство теоремы 2. При п = 2 функции Q i, Q2 линейны по
импульсам: Qk = akPi +Ькр2, (к = 1,2). Ясно, что dQt dQo _
-= оь --- = а2. Следовательно, а = Ь\ - а2, где а - функция из
dp2 dpi
166
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
леммы 4. Согласно (8.28), имеем аМ = сз+гс4 = const, Д(сгМ) = 0. Таким
образом, уравнение (8.15) упрощается:
" д2М (д2М д2м\ ,000.
-я- = С2 ( ~я~2--------------ТГТ ) ¦ (8.32)
dqidq2 V dq{ dqi )
Предположим, что с\-\-с2 ф 0 (случай сх = с2 = 0 будет рассмотрен
ниже). Воспользуемся методом Фурье. Пусть
М = Е Mmim2ei{mi4'+m2qi), {mum2) G Z2.
Тогда из (8.32) получим цепочку соотношений
[2cimim2 - c2(m2 - ml)\Mmim2 = 0. (8.33)
Рассмотрим множество В = {(mi,m2) G Z2 : Mmim2 ф 0}. Ввиду . m\m2
(8.33), для точек из В имеет место равенство -^----------2 ~ const.
ГП\ГП2 П\П2
Пусть (щ, П2)--еще одна точка из В. 1ак как -~~
т\ - т.2 щ - щ то либо min2 - т2щ = 0, либо т\щ + т2п2 = 0.
В первом случае точки лежат на одной прямой, проходящей через начало
координат, а во втором случае - на некоторых двух прямых li, /2,
ортогонально пересекающихся в начале координат.
Пусть (т\,т\) ф (0,0) - точка из целочисленной решетки Z2, лежащая на 1\
и ближайшая к началу координат. Ясно, что все точки множества l\ Г) Z2
имеют вид
(mi, т2) г= (\т°, Лш2), Л G Z.
Так как (т2, -т\) -ближайшая к началу координат точка из (12 П
nZ2)\{(0,0)}, то все точки /2flZ2 имеют вид Ц, т2) = (Лтп", Лт\),
Л G Z. Следовательно,
М = J2 Mmim2ei{m"ll+m292'1 + ]Г Мт,т^т^+т(tm)) =
= Е Mxm°,XrrqeiX[m°q'+m%) + Е Мхт°,-Хто/Х{^тЫ =
Л Л
= /(т1<?1 + m2?2) + g{m°2q 1 - m\q2),
гДе /1 9 - некоторые 27г-периодические функции.
Перейдем к новым угловым координатам х\, х2 mod 27гпофор- ~ мулам х\ =
m\q\ + m2q2, х2 - m2qi - m\q2. Расширим это преоб-
167
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
разование до канонического (q,р) -> (ж, у), полагая
[(mi)2 + (т°)2]г/1 = (tm)%pi + т°2р2,
[(mi)2 + (тг)2]У2 = m°2Pl - т\р2.
В новых переменных х, у гамильтониан примет вид
" МПМ)1, ; .
2[/(x1) + 9(x2)](a+fc)' (8'34)
Таким образом, переменные ж, у разделяются. Функция (8.34) - гамильтониан
Лиувиллевой системы с двумя степенями свободы. Уравнение (8.32) появилось
в работе [214] в связи с задачей о наличии квадратичного интеграла.
Итак, можно считать, что М = F(qi) + G(q2), где F, G - 27т-периодические
координаты. Кроме того, в соответствии с предположением теоремы 2, М ф
const.
Уравнение (8.32) дает нам, что c2(F" - G") = 0 (здесь штрих обозначает
производную функции одной переменной). "Функции F и G периодичны и хотя
бы одна из них не постоянна, поэтому, очевидно, с2 = 0. В соответствии с
заключением леммы 2,
Oi - b2 = ci, а2 + bi = 0. (8.35)
Кроме того, crM = с3 + гс4 - const. Функция а = Ьг - а2 вещественна,
поэтому С4 = 0. Учитывая (8.35), заключаем, что
с3 = -2 а2М = 2Ь\М. (8.36)
Воспользуемся теперь равенством (8.12). Из него вытекают со-
дМах дМа2 дМЬх дМЪ2
отношения - --------1- ----- = 0 и -------------1-т = 0.
Учитывая
oq\ Oq2 dqx dq2
(8.36), приходим к равенствам
Mb2 = <Pi(qi), Mai = <p2(q2), (8.37)
где <pi, <р2 - периодические функции одного переменного.
Используя первое равенство (8.35), получаем цепочку равенств
CiF -(- ciG = с\М = {ах - Ъ2)М = <p2{q2) - <Pi(<?i),
откуда <рх = -C1F+C5, р2 = C1G-HC5, где с.5 - некоторая постоянная,
которую можно считать равной нулю. Действительно, положим
F = F + с.5/сь G = G - С5/С1. Тогда
V?i = -CiF, <p2 = cxG\ F + G = F + G.
168
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
Вспоминая, что М = 1/Л, из (8.36) и (8.37) получаем искомые равенства
ах = cxGA, а2 = -с0А; bx = с0А, b2 = -ciFA; с0 = с3/2. (8.38)
Воспользуемся, наконец, равенством (8.17) и заключением лем-
1 д 1 д
мы 6. Получим - --(ах + ibx) + - --(а2 + ib2) + К[ + гК2 = 0.
Так
2 oqi 2 oq2
как п = 2, то К{ и К2-вещественные функции. Следовательно,
W* - -- (- = -- - - Г9А
Kl~ 2\dqi dq2) ~ 2 0q2 2Cl dqx'
.____1 /Sbi МА = _содЛ 1 дА
2 2 \dqx + dq2) 2 dqx 2°l dq2
Равенства (8.38) и (8.39) приводят к окончательным формулам для поля
симметрий и:
q[ = ciGApi + с0Лр2,
q2 - -coApi - ci FAp2,
¦ (8'40)
, 1 / dA dA\ 2 2.
й= 2lc,%rco^J(ft + Pl)-
Следовательно, поле и можно представить в виде суммы двух полей:
cxux+coU2. Легко проверить, что щ - гамильтоново поле сим-
