Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
теоремы 1 § 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с
трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого
результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как
следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по
этому поводу гл. V).
Отметим еще работу А. Катка [208], в которой доказана положительность
топологической энтропии геодезического потока на замкнутой гладкой
двумерной поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой.
Положительность энтропии свидетельствует о сложности поведения фазовых
траекторий (см., напри-
156
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
мер, [110]). Однако для перевода этого важного результата на язык теории
интегрируемости гамильтоновых систем нужно дополнительное рассмотрение.
Действительно, в § 1 приведен пример геодезического потока на гладкой
сфере с g > 1 ручками, допускающего непостоянный гладкий интеграл. В этом
примере энтропия сосредоточена в небольшой области фазового пространства.
Было бы полезным связать вопрос о наличии нетривиальных полей симметрий с
положительностью топологической энтропии.
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
1. Пусть теперь поверхность М является двумерным тором Т2, на котором
введены угловые изотермические координаты gi,g2 mod 27г. Оператор
дифференцирования вдоль гамильтонова поля v имеет вид (7.1). Пусть и -
векторное поле с оператором
д д д д
дифференцирования Lu = Qi~----Ь Q2~;--k Pi-х -. Если
dqi dq2 dpi др2
и - поле симметрий, то Lu к Lv, конечно, коммутируют.
Определение. Если Qi, Q2 -многочлены от импульсов степени n - 1, a Pi, Р2
-многочлены степени п, то поле и назовем однородным полем степени п.
Степень однородного поля и будем обозначать deg и. В частности, deg v -
2. Поле симметрий и можно разложить в формальный ряд по однородным полям:
и = щ + щ + и2 +... (deg щ = к, к ^ 1). Согласно лемме 1 из § 7, каждое
из однородных полей щ само является полем симметрий. Кроме того, щ = 0
(лемма 2 из § 7). Поэтому можно ограничиться рассмотрением лишь
однородных полей симметрий положительной степени.
Если поле симметрий и гамильтоново, то и>(и,-) = -d(F), где F -
однозначная функция в фазовом пространстве. Если F - однородный многочлен
по импульсам степени m, то deg и = т. Поля и, v коммутируют, поэтому {Я,
F} = const. Ввиду квадратичности гамильтониана эта константа равна нулю.
Следовательно, гамильтониан F будет интегралом геодезического потока.
Мы назвали поле симметрий и локально гамильтоновым, если 1-форма и(и, •)
замкнута, но не точна (см. § 3 гл. II). В этом случае уравнения
геодезических допускают в качестве инварианта замкнутую 1-форму, которая
называется многозначным интегралом.
Не следует думать, что поля симметрий задачи о геодезических всегда
гамильтоновы (или локально гамильтоновы). Вот простой контрпример: если Л
= const, то квадратичное векторное поле с оператором дифференцирования
P2jr--Pijr- (8л)
dqi dq2
157
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
является полем симметрии, однако оно .не является даже локально
гамильтоновым относительно стандартной симплектической структуры ал
Теорема 1 [107а)]. Если М = Т2, то любое поле симметрий первой степени
гамильтоново.
Оно порождается линейным интегралом и поэтому является нётеровым.
Теорема 2 [Ю7а)]. Если гауссова кривизна метрики на торе не равна
тождественно нулю, то любое поле симметрий второй степени гамильтоново.
Аналитический критерий евклидовости метрики на торе состоит в том, что А
= const. Как показывает пример поля (8.1), предположение А ф const в
теореме 2 существенно.
Теоремы 1 и 2 описывают структуру полей симметрий степени
2. Для полей симметрий степени ^ 3 теорема 2 не справедлива.
Действительно, пусть А - непостоянная периодическая функция, зависящая
только от угловой переменной qi- Тогда векторное поле и первой степени,
заданное уравнениями q[ = 1, q'2 = 0, р\ = 0, р'2 = = 0, является полем
симметрий. Оно гамильтоново, однако поле третьей степени Hu (Н -
гамильтониан геодезического потока), также являющееся полем симметрий,
уже не гамильтоново.
Задача о структуре симметрий геодезического потока на сфере более сложная
и пока не изучалась. В следующем параграфе рассмотрен упрощенный ее
вариант: если геодезический поток на двумерной поверхности допускает
полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное полю и, то
существует ли дополнительный по импульсам интеграл степени п? Практически
во всех случаях ответ положительный.
2. Усложним задачу, заменив стандартную симплектическую структуру oj =
dpk A dqk на фазовом пространстве Т* замкнутой невырожденной 2-формой +
</?, где уз - 2-форма на М. В локальных координатах qi, q2 она имеет вид
А(щ, q2)dqi A dq2.
Если заменить и на w + ip, не меняя гамильтониана, получим следующие
уравнения Гамильтона:
ЭН . дН
9l - д-, 92 = д->
ЭР1 9Р2 (R 9)
дН ЭН . ЭН , дН К '
Pl dqi + др2 ' Р2 dq2 dpi'
Слагаемые в (8.2), содержащие А, - гироскопические силы.
