Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
системы является задача Эйлера, рассмотренная в п. 1. Более сложные
примеры дают интегрируемые случаи Ковалевской, Клебша, Ляпунова-Стеклова
из динамики твердого тела.
Рассмотрим также замкнутую цепочку Тоды, которая описывается уравнениями
Г амильтона с гамильтонианом
Кроме энергии, в этой системе сохраняется полный импульс у,-.
if = {г{, Н} = fi{z) , 1 ^ г ^ п
(9.11)
{z ? К" : Fi{z) = Ci , 1 ^ i ^ к + т}
(9.12)
ех'~х* + еХ2-Хз + ... + е*"-*1
116
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
Будем рассматривать движения с неподвижным барицентром, т. е.
Х> = °- (9ЛЗ)
Введем новые координаты и, v по формулам
vk = exp(xk - xk+i) , uk = yk - yk+1 ; 1 ^ k ^ n (9.14)
Здесь xn+\ = X\ и yn+1 = 2/i. Эти координаты избыточные:
Fi = vi... vn = 1 , F2 = щ + ... + un = 0 .
Скобки Пуассона {г>,-,г^}, {н,-, Uj} равны нулю, а скобки {г>,-, и-/}
линейно выражаются через vk. В новых переменны динамика цепочки Тоды
описывается уравнениями
Ч = vkuk , щ = vk_i - 2vk + vk+\ . (9.15)
Их можно переписать в виде уравнений Гамильтона
Щ - {vk,H} , щ = {ик,Н}, (9.16)
где Н = Т + ик, а кинетическая энергия Т представлена в переменных ик с
помощью соотношений
У\ = [((tm) - 1 )щ + (п - 2 )и2 + ... + ип^Цп , ... (9.17)
Невыписанные формулы получаются из (9.17) циклической перестановкой
индексов 1,2,... п. Формулы (9.17) можно вывести из второй группы
уравнений (9.14) и уравнения (9.13).
Система (9.16) имеет вид (9.11). Функции и F2 являются функциями
Казимира. Как установлено в работе [177], гамильтонова система (9.16)
алгебраически вполне интегрируема. В частности, импульсы ук и экспоненты
vk - мероморфные функции комплексного времени.
4. Если гамильтонова система (9.11) алгебраически вполне интегрируема,
то почти все ее решения будут мероморфными функциями времени. Точнее,
уравнения (9.11) допускают решения вида
Ф) = Гк' (zj0) + zf\ + ... + zft* + ...), (9.18)
с целыми kj ^ 0,^kj ^ 1, причем коэффициенты зависят от п- 1 независимого
параметра:
= ^р)(а1' • • • > an-i) • (9.19)
Еще один свободный параметр возникает при замене в (9.18) t на t - to-
Как правило, в конкретных задачах коэффициенты (9.19) - рациональные
функции на некотором (п- 1)-мерном алгебраическом многообразии.
117
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Заметим, что уравнения (9.11) могут допускать несколько существенно
различных семейств мероморфных решений вида (9.18). Это явление легко
уяснить на простом примере уравнений Гамильтона
• дН ЭН у2 ,
х=~д,у' " =-2+W*). (9-2°)
где fn+\ - -axn+1 +bxn+... - многочлен с постоянными коэффициентами (а ф
0). Рассмотрим задачу о наличии у этой системы формально-мероморфных
решений вида
X-a X-a+l К-/3 . ^-/3+1 /п
"=~+ - + -. "=1Г + 1<=Г + -- <9-21>
Здесь а и /3 - целые неотрицательные числа, причем а+/3 ^ 1. Коэффициенты
Х-а,..., Y-p,... (Х_а ф О, ф 0) могут принимать комплексные значения. Нас
будет интересовать "полное" решение системы (9.20); в этом случае
коэффициенты разложения (9.21) должны содержать "модуль" - произвольный
параметр.
Числом Ковалевской к системы (9.20) назовем количество различных
однопараметрических семейств мероморфных решений вида (9.21). Числа
Ковалевской введены в работе [104]. Оказывается, если п = -1,0,1 или п ^
4, то к = 0; если п = 2, то к = 1; наконец, при п = 3 число к равно 2.
Действительно, подставляя ряды Лорана (9.21) в уравнения
(9.20) и приравнивая коэффициенты при старших степенях l/t, приходим к
линейным соотношениям (3 = а 1, f3 + 1 = па. Если п = - 1 или п = 0, то
(3 < 0, а при п = 1 эта система несовместна. Далее, число а = 2/(п - 1)
должно быть целым; значит, п ^ 3. Итак, при п ф 2 и п ф 3 гамильтонова
система (9.10) вообще не имеет мероморфных решений. На самом деле при п ^
1 все решения являются целыми функциями наС= {(}, а при п ^ 4 общее
решение многозначно.
Пусть п - 2. Тогда АГ_г = 6/а, У13 = -12/а. Подставляя ряды
(9.21) в левую и правую части уравнений Гамильтона и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях t, получим бесконечную цепочку
алгебраических соотношений для последовательного нахождения пар
коэффициентов Х\ и Уд-ь При А ф 4 каждая из таких систем разрешается
однозначно, а при А = 4 она вырождается в одно уравнение 4X4 = У3.
Поэтому коэффициент Х4 (или Уз) можно считать произвольным параметром
(модулем), и, следовательно, при п - 2 число Ковалевской равно 1.
Если п = 3, то а = 1, (3 = 2 и ALi.= ±\/2/а, У_2 = Т\/2/а. При каждом из
двух возможных выборов знаков уравнения (9.20) допускают
однопараметрические семейства мероморфных решений.
118
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
Роль произвольного параметра играет в обоих случаях, например,
коэффициент Х$. Эти два семейства различны (у них разные коэффициенты при
старших степенях 1 /?), поэтому здесь к = 2.
Отметим, что при п = 2 и п = 3 общее решение системы (9.21) выражается
через эллиптические функции времени, причем в первом случае в
параллелограмме периодов у функции x(t) имеется единственный полюс
