Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
По теореме Стокса значения интегралов (9.6) не меняются при непрерывных
деформациях контуров а,-, bj. Оказывается, матрица периодов голоморфных
дифференциалов
является римановой. Поэтому с каждой римановой поверхностью рода т можно
связать поле абелевых функций от т комплексных переменных. Построенный по
матрице периодов (9.7) абелев тор Т2т называется многообразием Якоби (или
якобианом) римановой поверхности X; он обозначается J(X).
Одним из ключевых пунктов теории римановых поверхностей является задача
обращения Якоби: для данной точки ? = = (Cl > • • • ) Cm) € J{X) найти т
таких точек z\,..., zm римановой поверхности X, что
Здесь Zo - фиксированная точка X, знак = обозначает сравнение по модулю
решетки периодов. Дело в том, что если в формуле
(9.8) выбрать какой-нибудь другой путь интегрирования, идущий из точки 26
в точку г*,, то к интегралу слева добавится интеграл вида <f <pj, где 7 -
некоторый замкнутый контур (цикл) на X, который можно представить в виде
линейной комбинации базисных циклов a,,bj с целыми коэффициентами: 7 =
Y^Piai + ЧкЬк- Поэтому добавок слева в (9.8) имеет вид <f <pj = ptuJ^ +
qku)^k+'n'i.
(9.6)
1 г, к ^ т
(9.7)
(9.8)
114
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
Но это есть j-я компонента некоторого вектора решетки периодов. Тем самым
задача обращения Якоби поставлена корректно.
Известна следующая теорема Якоби: пусть / - произвольная мероморфная
функция на X; тогда любая рациональная симметрическая функция от
f(z\),... ,f(zm) является абелевой функцией от Cl,... , Cmi (т. е.
мероморфной функцией на якобиане J{X)).
В качестве примера применения этого результата рассмотрим уравнения
(5.2), к которым сводится задача Чаплыгина из динамики твердого тела.
Представим эти уравнения в форме (9.8):
Г' dz _l Г2 dz
Jpo уДЩ + Хо y/?{z) 15
(9.9)
fPl zdz fp2 zdz
X, ш+1 7W)^t+C2'
где ро,сь = const. Так как Ф - многочлен шестой степени, то
соответствующая риманова поверхность имеет род 2. В уравнениях
(9.9) имеем
Ci = ci , С2 - с2 +1 . (9.10)
В пространстве С2 = {СьСг} эти уравнения задают комплексную прямую, а на
абелевом торе (комплексной размерности 2) получаем комплексную "обмотку".
Согласно теореме Якоби, любая симметрическая функция от Р\,Рг будет
абелевой функцией от СьСг- С учетом (9.10) получаем, что эти функции
будут мероморфными функциями комплексного времени t. В частности,
компонента угловой скорости ссз = -(pi + + P2)/h однозначна и мероморфна
на С = {t}. Можно показать, что ч>1 и tc| обладают тем же свойством.
Однако tcj и Ш2 имеют алгебраические точки ветвления.
Уравнения вида (9.9) встречаются при интегрировании многих задач
классической механики. Примерами служат случаи интегрируемости
Ковалевской, Клебша и Ляпунова - Стеклова из динамики твердого тела (см.
§ 5). Причем, в отличие от задачи Горячева- Чаплыгина, в этих случаях
фазовые переменные являются однозначными функциями на якобиане римановой
поверхности рода 2.
3. Теперь мы готовы дать, следуя М. Адлеру и П. ван Мербеке [178],
общее определение алгебраически интегрируемой гамильтоновой системы.
Предположим, что в л-мерном пространстве с декартовыми координатами z\,..
., zn задана скобка Пуассона { , } (вообще говоря, вырожденная),
обладающая тем свойством, что {zj,zj} является
115
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
полиномом в Kn = {z}. Примером служит уже известная нам скобка Ли -
Пуассона. Пусть Р\,... ,Fk - полиномиальные функции Казимира (они
коммутируют со всеми координатами z,). Будем считать, что ограничение
скобки на поверхность уровня функций Казимира Мс = {z : -F,(z) = с,}
невырождено.
Рассмотрим гамильтонову систему
с полиномиальным гамильтонианом Н. Правые части этой системы- многочлены
в К". Поэтому систему (9.11) можно рассматривать как аналитическую
систему дифференциальных уравнений в С71, считая переменные z\,..., zn и
t комплексными.
Уравнения Г амильтона (9.11) называются алгебраически вполне
интегрируемыми, если выполнены следующие условия:
1) Кроме функций Казимира Fi,... ,Fk, уравнения (9.11) имеют еще т =
(п - к)/2 полиномиальных интегралов Fk+1 = Н, Fk+2, ¦ ¦ ¦, Fk-im, причем
функции Р\,..., Fk+m почти всюду независимы. Для почти всех вещественных
сь ... ,Ск+т множество
компактно; следовательно, по геометрической теореме Лиувилля (теорема 1
из § 4), поверхности (9.12) диффеоморфны тп-мерным торам с условно-
периодическим движением на них.
2) Для почти всех комплексных Q,... ,с*.+т найдется абелев тор Т2т с
естественными комплексными координатами <Д,..., (т и п абелевых функций
z, = z,((j,..., (т), параметризующих некомпактные инвариантные
многообразия Ас = {z 6 Cn : Fj(z) = с,-, 1 ^ i ^ к + т}. Отображение Т2т
-> Ас, задаваемое функцией z(C), взаимно однозначно всюду, кроме
нескольких замкнутых поверхностей комплексной коразмерности 1 в Т2т.
3) Фазовый поток комплексифицированной системы (9.11) задается на Ас
уравнениями Q = р, = const (1 ^ г <; т).
Простейшим примером алгебраически вполне интегрируемой гамильтоновой
