Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
13.30. Как известно, при наличии вырождения движения увеличивается число
однозначных интегралов движения. Указать интегралы движения в поле
U=^f(x2+4y2).
13.31. Найти переменные действие-угол для следующих систем:
а) осциллятор;
Г оо при х < О,
б) частица в поле U(x) = <
I xF при х > 0.
13.32. Для частицы в периодическом поле
{О при па < х < (п +
п = 0, ±1, ±2, ...
V при In + - )а < х < (п + 1)а,
в случае Е > V провести каноническое преобразование с производящей
функцией
X
S(x, Р) = J \/2т\Е - U(x) dx, о
где Е(Р) выражается из равенства
Ответы и решения
§ 1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы
Рис. 69
1.1. а) По начальным значениям ж(0) и ж(0) определяется энергия частицы
Е. Дальнейшее ее движение находится из закона сохранения энергии
тх
+ U(x) = Е.
(1)
При Е ^ 0 частица может двигаться в области х ^ х\ - движение инфинитно
(Е = Е' на рис. 69). При Е < О (Е = Е") частица движется в области Х2 ^ х
^ ,7'з, движение финитно. Точки поворота определяются из формулы (1)
U(xi) = Е\
ь у/А(А + Е)-А х^ = аЫ й------------------
Х\ =
In 2
а
х2,з=аЫ
1 atVMA-\e\)
\Е\
при Е > О, при Е = О, при Е < 0.
(2)
Из (1) получаем
1.1] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью
свободы 71
Отсюда
1 А - ^/А(А - \Е\) cos(atv/2\E\/m + С) = аЫ---------------------^--------
------------
it) = п1п
1 , Ао?
(t + Cf
I JА{А + Е) ch(at^/2E/rn + С) - А
x(t) = a In--------------------р------------------
при Е < 0, (4)
при Е = 0, (5) при Е > 0. (6)
Постоянные С определяются начальными значениями :/;(()), например, в (4)
при ж(0) > 0
С =
А - \Е\еах{А VA - (А-\Е\
Точки поворота (2) также легко найти из (4)-(6).
Движение при Е < 0, согласно (4), периодическое с периодом Т = = a ^сли
Е близко к минимальному значению U(x), равному
Umin = и{0) = -А (т.е. ? = А <С 1), то период Т " T0(l - |),
Tq = ^ д / слабо зависит от Е. В этом случае (4) можно записать в виде
Частица при этом совершает гармонические колебания вблизи точки х = 0 с
амплитудой \fejot, определяемой разностью Е - Umin, и с частотой, не
зависящей от энергии. Такой характер движения при Е, близком к Umin,
имеет место почти в любом поле U(х). (Подробнее об этом см. в § 5.)
При Е ^ 0 частица, движущаяся справа, доходит до точки поворота х\ (см.
(2)), поворачивает назад и уходит на бесконечность. При этом скорость
72 Ответы и решения
ее со временем стремится к -у/2Е/т, сверху.
[1.2
б) x(t) = - Arsh
c(t) = ± -Arsh
l\E\+U0 .
sin(a ty/2\E\/m + С)
lE + U0
E
sh(aty/2E/m + C)
x(t) = ± - Arsh(aty/2Uo/m + С) в) x{t) = p- arcsin
при E < 0,
при E > 0,
при E = 0;1
E
sin at
2(Uo + E)
С
E + U0
Почему в некоторых формулах приведенных ответов знаки двойные?
1.2.
it)
хо
Xq = ж(0). Знак в знаменателе противо-
1 ± txoy/2A/m
положен знаку ж(0). Пусть для определенности ж(0) > 0. При ж(0) > 0
частица уходит на бесконечность за время у/т/2 Ах/ Разумеется, реально
речь может идти только о большом, но конечном расстоянии, до которого
простирается заданное поле U(x).
При ж(0) < 0 частица асимптотически приближается к точке х = 0.
1.3. Вблизи точки остановки U(x) = = Е - (х - a)F, где F = -U'(a), т. е.
можно считать, что движение частицы происходит под действием постоянной
силы F. Считая, что ж(0) = а, получаем
/77 2
*(*)=" + 2^'
Рис. 70 Точность этой формулы убывает при удале-
нии от точки х = а.
Маленький отрезок пути s вдали от точки остановки частица проходит за
время т tx s. Если же отрезок пути примыкает к точке остановки, то для
его прохождения необходимо время т = y/2ms/\F\, т. е. т ос yfs.
1 Arshx = 1п(ж + л/ж2 + 1).
1.5] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 73
Если U'{а) = 0 (рис. 70), то разложение U{x) необходимо продолжить до
следующего члена:
U(x) = Е+±и"{а)(х - а)2.
В этом случае x(t) = а + se±xt, где s = ж(0) - а, А2 =-------------, а
знак
в показателе определяется направлением скорости в начальный момент. Для
прохождения участка пути до точки остановки частице необходимо бесконечно
большое время.
1.4. Если U" (а) ф 0, то Т ос 1пе, где е = Um - Е. Если U"(a) =
п-2
= ... = [А"-1) (а) = 0, U(n\a) Ф 0, то Т ос е 2п .
1.5. а) При малом е = Е - Um частица движется медленнее всего вблизи
точки х = а. Поэтому и весь период движения Т можно оценить по времени Т)
прохождения (туда и обратно) малой окрестности этой точки
а - 6 < х < а + S'.
о+<5
Ti = [ dx " Т.
J \/Е - U(x)
у/Е - U(x)
а-д
В окрестности х=а представим U{x) в виде U(x)=Um - ^k(x-a)2,
где к = -U"(a). При достаточно малом е можно выбрать 5 таким, чтобы
скорость v на границах интервала была много больше минимальной (при х =
а)
ту
2
к52
> ?
2 2
и в то же время чтобы было 5 <С L = Х2 - х\, т. е.
| < 5 < I = Ж2 - Хц
Тогда
Tl= 2А/|1П2^. (1)
Время Т2 движения частицы на участках х\ < х < а - 5 и 5 < х < х2
удовлетворяет условию
74
Ответы и решения
[1.5
С уменьшением е величина Т) возрастает, поэтому при достаточно малых е
оказывается Г> 7) и для оценки периода движения можно воспользоваться
