Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
частицы гораздо больше скорости тяжелой, определить закон движения
тяжелой частицы, усредненный по "периоду" движения легкой.
Рис. 66
М
А
В
ю
А
М
М
Рис. 67
Рис. 68
13.9. В этой задаче рассматривается модель иона 11[Г. Две частицы массы М
и находящаяся между ними частица массы то <С М могут двигаться только
вдоль прямой АВ (рис. 68). Легкая частица притягивается к каждой из
тяжелых с постоянными силами /, а при столкновениях отражается упруго.
Определить частоту малых колебаний расстояния между тяжелыми частицами
(усреднив по движению легкой).
13.10. Решить методом последовательных приближений уравнения задачи 11.1а
для Р и Q в случае, когда частота изменяется медленно (И <С и!2, И <С
М^ы), с точностью до первого порядка по lj/lj2 включительно.
В чем преимущество переменных Р, Q перед р, q в этом случае?
13.20] § 13. Адиабатические инварианты 67
13.11. Убедиться, что q = со~1/'2 exp (г f со dtj удовлетворяет уравнению
q + co2(t)q = 0 с точностью до первого порядка по со/ио2 включительно.
13.12. На осциллятор действует сила F(t). Найти зависимость
адиабатического инварианта I = § pdq от времени.
13.13. Найти связь между объемом и давлением "газа", состоящего из
частиц, которые движутся параллельно ребрам внутри куба, размер которого
медленно изменяется.
13.14. Частица движется внутри упругого параллелепипеда. Как изменяется
энергия частиц, если:
а) размеры параллелепипеда медленно изменяются,
б) параллелепипед медленно поворачивается?
13.15. Частица движется в сфере с упругими стенками, радиус которой
медленно изменяется. Как изменяется при этом энергия частицы и угол, под
которым она налетает на стенку?
13.16. Как изменяется энергия и траектория частицы, совершающей финитное
движение в поле U(r) при медленном изменении коэффициента 7?
a) U = -7г~п (0 < п < 2); б) U = Щ + ~j-
г г
13.17. Найти изменение энергии частицы в центральном поле при медленном
"включении" малой добавки к полю 6U(r).
13.18. Найти зависимость от времени энергии системы двух связанных
осцилляторов, функция Лагранжа которой имеет вид
Т m ( ¦ 2 , -2 22 2 2,о \
L=-(x +у - со1х - со2у + 2аху)
при медленном изменении ио\. Как изменяется траектория точки (х, у)?
13.19. Пусть связь осцилляторов в предыдущей задаче мала: а <С оо\ 2.
Показать, что адиабатические инварианты, вычисленные в пренебрежении
связью, сохраняются вдали от области вырождения {ио\ =002) и резко
изменяются при медленном прохождении этой области.
13.20. В какой области coi (f) будут сильно меняться адиабатические
инварианты осцилляторов, если связь имеет вид SU = (Зх2у7
68
Задачи
[13.21
13.21. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится к ребру
двугранного угла а частица, упруго отражающаяся от его граней. На
расстоянии I от ребра угол падения частицы на грань равен щ.
Задачу решить двумя способами: методом отражений (точно) и с помощью
адиабатического инварианта в случае малых а и ^>о-
13.22. Определить границы области, в которой движется между двумя
упругими поверхностями у = 0 и у = частица, вылетевшая из
\_^11
начала координат под углом ip к оси у в плоскости ху (а, р <С 1), и
период колебаний вдоль оси ж.
13.23. Как изменятся радиус и положение центра орбиты заряженной частицы
при движении в однородном магнитном поле, медленно изменяющемся по
величине? Векторный потенциал выбрать в виде
а) А = (0, Жх, 0); б) Аг = Аг = 0, = ±Жг.
Объяснить, почему результат зависит от выбора А.
13.24. Вычислить адиабатические инварианты для заряженного осциллятора в
однородном магнитном поле.
13.25. а) Определить адиабатические инварианты для заряженного
анизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергией U(г) =
Щ(со2х2 + со2У2 + w|z2) в однородном магнитном поле Ж, параллельном оси
z. Векторный потенциал выбрать в виде А = (0, Жх, 0).
б) Пусть вначале Ж = 0 и траектория осциллятора заполняет прямоугольник ж
^ а, \у\ ^ Ь. Каким станет его движение, если магнитное поле медленно
возрастает до большой величины (такой, что и>,уе = = еЖ/тс щц 2)?
в) Пусть магнитное поле слабое <С u>i - 102) и вначале осциллятор
колеблется почти вдоль оси х. Каким станет его движение, если величина
cl>i, медленно уменьшаясь, достигнет значения ui[ < ж_> такого, что
С Ш2
13.26. Частица совершает финитное движение в плоскости, перпендикулярной
магнитному диполю т. Как меняется энергия частицы при медленном изменении
величины т?
13.27. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ловушке.
Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси z, причем
ж^ = 0,Жг= Жг(г), Жг = ж/{г).
13.32] § 13. Адиабатические инварианты 69
а) Ж% (z) = Ж$ (l + A th2 §);
б)Жг(г) = Ж0(1 + 4)-
\ о /
13.28. Как изменяются энергия электрона и период его колебаний вдоль оси
z в магнитной ловушке, описанной в предыдущей задаче при медленном
изменении параметров поля Жо, А, а?
13.29. Найти изменение энергии частицы в центральном поле U (г) при
медленном включении слабого однородного магнитного поля Ж.
