Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
11.23. Найти каноническое преобразование, представляющее собой результат
последовательного выполнения бесконечно большого числа N бесконечно малых
канонических преобразований, заданных функцией
Ф(д, Р) = qP + jxw(q, Р), Л = const, Лг -> сю;
a) W(r, Р) = [гР]а, а = const; б) W(x, у, Рх, Ру) = Аг,
где Ai определены в задаче 10.15.
УКАЗАНИЕ. Составить и решить для конкретных W дифференциальные уравнения
для Q(A), Р(А).
60
Задачи
[11.24
11.24. а) Как изменяются со временем объем, объем в импульсном
пространстве и фазовый объем, занимаемые группой свободно движущихся
вдоль оси х частиц? В начальный момент координаты частиц заключены в
интервале xq < х < xq + Axq , а импульсы - в интервале ро < р < ро +
+ Ар0-
б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси х между двумя стенками.
Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом частицы не
взаимодействуют.
в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов.
г) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов с трением.
д) Тот же вопрос для группы ангармонических осцилляторов.
е) Будем описывать распределение частиц в фазовом пространстве в момент t
функцией распределения w(x, р, i) такой, что число частиц с координатами
в интервале от х до х + dx и импульсами в интервале от р до р + dp есть
w(x, р, t) dx dp. Определить функции распределения группы свободных
частиц и группы гармонических осцилляторов, если в начальный момент
/ ГЛ 1 "Г (Х~х0)2 (Р-Ро)21
w(x, р, 0) = --т---т- ехр!------------------------ - >.
2тгАр0Ах0 I 2 Джд 2Дрд >
11.25. Введем переменную
тпсах + ip itjIf а = - е .
\/2 тш
а) Найти скобки Пуассона {а*, а}. Выразить через а и а* функцию
Гамильтона гармонического осциллятора
О О
тт Р , ш I Яо " 2^ +
б) Показать, что Q = а и Р = ia* - канонические переменные. Найти новую
функцию Гамильтона iTg(Q, Р).
в) Для осциллятора с ангармонической добавкой к потенциальной энергии
SU = |т/Зх4 усреднить функцию Гамильтона H'(Q, Р) по периоду
быстрых осцилляций 2тг/са.
Используя усредненную функцию Гамильтона, найти медленные изменения
переменных Q и Р.
11.28] §11. Канонические преобразования 61
г) Исследовать закон изменения амплитуды колебаний осциллятора под
действием нелинейной резонансной силы
Н = ^ Ь таа1 х-Ь т2со2ах4 cos 4cot.
2т 2
11.26. Исследовать изменение амплитуды колебаний системы трех
осцилляторов со слабой нелинейной связью:
Н = 2ш^ +Ру +Р^ + ^(ш1х2 + и2У2 + uj^z2 + axyz),
если \u>i - (х>2 - ссз| <С u>i, \ах\ <С со2. Рассмотреть подробнее
случаи, когда в начальный момент \у\ <С |ж|, z = 0, у = z = 0.
Воспользоваться тем же методом, что и в предыдущей задаче.
11.27. Функция Гамильтона ангармонического осциллятора, испытывающего
параметрическое воздействие, имеет вид
тт Р2 , tow2,, . , 0 ,ч 2 , (tm)/Зж4
Н = кк: + ^-(1 + hcos2^t)x + -j-
Введем канонические переменные
а=(tm)*+Жеы р = ш._
\j2mix)
а) Найти новую функцию Гамильтона Н'(а, Р, / ) и усреднить ее по периоду
быстрых осцилляции 27г/Ч.
б) Исследовать изменение амплитуды колебаний в области резонанса I7 - ui\
<С hu>, h <Cl, если в начальный момент величина а близка к нулю.
11.28. а) Проверить, что преобразование
х = Qcos^ft + ^jPsin jt,
р = -mujQ sin7t + P cos 71
является каноническим. Получить новую функцию Гамильтона H'(Q,P,t) для
осциллятора с параметрическим возбуждением:
2 о о
тт Р I ГГШ X 1т т г> j.\
= 2т 2 _ hcos2'jt).
б) Усреднить H'(Q, Р, t) по периоду 27т/7 и исследовать качественно
движение точки на фазовой плоскости Q, Р. Принять h <С 1, ? =
= 1 - 7/щ <С 1.
62
Задачи
[11.29
11.29. а) Рассматривается движение двух слабо связанных осцилляторов
В плоскости х, px/mLOi перейдем к системе координат X, Рх/ти)\,
вращающейся с угловой скоростью lo\ по часовой стрелке; аналогичное
преобразование сделаем и для переменных у, ру/тш2- Показать, что X, Y,
Рх, Ру - канонические переменные.
Найти новую функцию Гамильтона Н'{Х. У, Рх, Ру, / ), усреднить ее по
времени tycp такому, что
и исследовать изменение амплитуд колебаний по ж и у со временем за время
б) То же для V = т(3ху sin(wi + u>2)t.
§ 12. Уравнение Гамильтона-Якоби
12.1. Найти траекторию и закон движения частицы в поле U(г) с помощью
уравнения Гамильтона-Якоби:
12.2. Определить траекторию и закон движения частицы, рассеиваемой в поле
U(г) = аг/г3. Траекторию выразить через квадратуры, а при Ер2 р> а - и
аналитически. Скорость частиц до рассеяния направлена противоположно
вектору а.
12.3. Найти сечение рассеяния на малые углы частиц, скорость которых до
рассеяния направлена противоположно оси z, в поле U(г):
V = т/Зху sin(wi - u>2)t, fi <С со2 ~ lo\.
t < wi,2//3.
a) U(r) = -Fx;
б) и(г) = ^ +
mxly2
2
12.10] §12. Уравнение Гамильтона-Якоби 63
12.4. Найти сечение падения частиц в центр поля U{г):
а)[/(г)=а§; б) [/(г) = а§ + А;
в) U(r) = ^ т)Щт) = Ш.
Усреднить сечение, предполагая все направления а равновероятными.
12.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса R, являющийся центром
поля U(r) = ar/r3.
