Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Н {х):
Н = j Я (*) d* х = -(1 /2и2) J di dh qik da x =
(24.14)
Таким образом, можно считать, что Н = J Н (x)d3x имеет смысл
Н (х) = То (х) - dtdhqlk (х),
(24.15)
В приближении слабого поля гамильтониан представляется квадратичной
формой от полностью поперечных компонент линеаризованного поля.
Именно это обстоятельство, а также показанное выше равенство
(24.14) энергии гравитационного поля массе служат оправданием выбора
действия этого поля в виде (23.3), где производные действуют не на
символы Кристоффеля r?v, а на метрический тензор
После того как действие гравитационного поля приведено к обоб-
щенному гамильтонову виду, можно построить гамильтонову форму
континуального интеграла, выбрав предварительно дополнительные
условия. Часто используют условия, впервые предложенные Дираком [30]:
dh {q-x!iqik) - 0, i = 1, 2, 3; я = qikn
ihi
(24.17)
где q = det qik. Эти условия имеют простой геометрический смысл:
поверхность х° = const минимальна, а координаты х1, х2, х3 на ней
"гармоничны" [уравнения дк (q~l/3qik) = 0 - это условия "трехмерной
гармоничности"].
Для доказательства эквивалентности канонической и релятивистской
форм континуального интеграла более удобны другие дополнительные
условия, а именно:
In q = Ф (х);
-tik
0, i ф k,
(24.18)
где Ф - функция с асимптотикой dr на бесконечности. Соотношения
(16.27) , (16.28) для этих условий выполняются. Матрица скобок Пуассона
условий (24.18) со связями определяется формулами:
(Сг))° = {ГТ1, In <7-Ф(х)} = - if ds In q-4ds r|s -]-
4зтт1°; (Сц)^^, q23} = - \]sdsq23 + q2sdsyf + q3s двц2-
-2q23ds rf-2 (я23-q23 я) г)°;
(Сг])2 = {Т", <731} = -tf ds qsi + q3* ds rf +
-\- qls ds rf-2q31 ds T]s-2 (я31-q31 я) ц0;
(Сц)3 = {Тп, q(tm)} = -rf ds qu + q* ds if +q2s ds if- - 2q12
ds rf-2 (я12-q12 я) rf,
где
7\i = HTon°+Ttf)d3x.
(24.19)
(24.20)
Матрица С не вырождена, если кривизна метрики gih отлична от нуля.
Введем обозначения:
In q - Ф
Хо; я23 = %й я31 = х2; я12 = Хз-
(24.21)
215
Континуальный интеграл в гамильтоновой форме для гравитационного поля
выглядит следующим образом:
jexp (i j (*"а, Т, -(-П--1) r.-яи) d*ж} X
X det {Тд, ха} П
Л 1 / А0'
\
П 5(Ха) П dn^d - U d ( - \
о = 0 /<? ,-=1 \ /
(24.22)
Приведем это выражение к виду, где интегрирование ведется только по
полю g^v. Это даст возможность идентифицировать искомую меру
интегрирования. С этой целью надо проинтегрировать по полям nih. От nik
зависит не только функционал exp (iS), но и определитель det {Гц, Ха}-
Запишем этот определитель в виде континуального интеграла по
антикоммутирующим переменным т)^ (р, = = 0,1,2, 3):
det {Гц, хп} =
= j exp [i ^ Tf C^v (я, q) riv Л4 x] П drf1 (x) drf (x). (24.23)
Функции nik входят только в коэффициенты Сд0 оператора С, не содержащие
производных, причем линейным образом. Сделаем в интеграле по nih сдвиг:
Щк -> + nik (g), (24.24)
где nik (g) - выражение nih = - (1/Л00) Г?* через метрический тензор
согласно (23.1). При таком сдвиге функционал действия 5 [g^, -
интеграл от выражения (24.9) - переходит в
S [g-K-vj _ (2k2)-1 j (1/Л00) ql'qkl (niknH - пипм) d*x. (24.25)
Здесь S [gi*v] - действие (23.3), в котором символы Кристоффеля r?v
выражены через метрический тензор. Квадратичная форма тр1 Cliv (nih, qik)
r]v превращается в
^ Сцу [nlk (g), qik] if + if /ц (nik) if, (24.26)
где /ц (nih) - линейные формы по nih, явный вид которых не понадобится.
Сделаем теперь в интеграле еще один сдвиг, уничтожающий линейную по nih
форму if/ц (лгл)т)°. Вместо этой формы возникает форма, квадратичная по
т^^т]0 и не содержащая производных, а поэтому равная нулю тождественно,
так как (if)2 = 0. После этого
216
возьмем гауссов интеграл по nih. Интеграл же по rj^, т]^ снова можно
записать как определитель оператора Съ отличающегося от оператора С тем,
что в нем символы nik заменены их выражениями через метрический тензор.
Действие оператора Су определяется формулами:
(Су т))°- -rfd*, In q-4ds т}s ~[(h0s / h°°) ds In q+
+ 4ds (h0s/h00)] if;
(Cy t])1 = - rf dx q23 4 q2s ds rf + q3s ds rf-2q23 ds if +
-jflds q23 4 q2s di -) 4- qSs ds (JUl Д00
[ h°о l Л""
(Cy t])2 = -rf dx q31 4 q3s ds rf + qls ds rf-2q31 ds r|s 4-
- ( h°s / A01 \ / Доз \ / /jOs
+(-w*ds <?31 + </3s +913 ds (-pr)-2^31 ds (-pj
(Cy T])3 = -rf dx q12 + qls ds r)2 4 q2s ds rf-2q12
ds if -f-
Д01 \ / 1.0s
2 q12d,
h0s I
-d, <7l2 + 9ls^(-pr)+92s ds
Д°о
Д00
доо
nu.
(24.27)
Локальные множители в произведениях дифференциалов вместе с
локальным множителем, возникшим от интегрирования по nik, и самими
дифференциалами собираются в выражение
П (/г00)-4<г2 П dh^.
(24.28)
Множители перед дифференциалами можно привести к виду hooyih-5i2qi/2t
(24.29)
причем последний множитель можно опустить вследствие условия связи q =
ехр Ф. В результате наш континуальный интеграл принимает вид
Г ехр (iS [h]) det Ву П j Пбу
x (I a
/г-5/2 П dh^\ ,
И < V
(24,30)
где оператор By отличается от Су локальным множителем (й00)-2.
