Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
где
Qabc - ёца elia (sVb &v Bj ду б?).
Можно считать, что это уже сделано, так что S - функционал только
переменных ера.
203
О формализме первого порядка говорят, если переменные v и r?v (или
е>1а и содаЬ) считаются независимыми. Если же Г выражены через g, а е -
через со, то говорят о формализме второго порядка.
Описание свободного гравитационного поля в терминах и е^а
эквивалентно. Различное число компонент - 10 в первом случае и 16 во
втором - компенсируется различием в калибровочной группе,
параметризуемой четырьмя функциями в первом случае и десятью во
втором. Формализм подвижного репера удобен для описания взаимодействия
со спинорным полем.
Эквивалентность формализмов первого и второго порядков может
исчезать при включении взаимодействий с другими полями. Геометрически
формула (23.11) определяет связность без кручения. Минимальное
взаимодействие гравитационного поля со спинорным в формализме первого
порядка приводит к появлению кручения [26].
Дальнейшее изложение будет проведено в основном на примере
тензорного формализма второго порядка.
Координатные преобразования метрического тензора образуют неабелеву
калибровочную группу, зависящую от четырех произвольных функций
(формула (23.4) дает инфинитезимальные преобразования). Поэтому,
согласно общей схеме квантования калибровочных полей, при квантовании
системы с действием 5 надо интегрировать функционал exp (iS) по
поверхности в многообразии всех полей, заданной четырьмя уравнениями. В
качестве таких уравнений удобно взять условия гармоничности де
Дондера-Фока [27J
dv (*), (23.12)
где М (х) - заданное векторное поле. Произвол в выборе /а (х) будет
удобен для формальных преобразований. Условия гармоничности (23.12)
являются аналогом лоренцевой калибровки в электродинамике и теории
Янга-Миллса.
Условия (23.12) не общековариантны и именно поэтому могут служить
для параметризации классов. Аналог уравнения f (Аа) = = 0 представляет
собой сложное нелинейное уравнение для параметров координатного
преобразования, переводящего данную метрику в гармоническую. В рамках
теории возмущений это уравнение имеет единственное решение.
Локальная калибровочно-инвариантная мера имеет вид*
Пёъ/2(х) П dg"v (х) = П/г-5/2(*)П dh^(x). (23.13)
X llKV х
* После выхода первого издания книги появились работы [28-30], в которых
приведены аргументы в пользу меры Лейтвиллера dfi =
= П (g,^2goondgtJ,v) в теории тяготения вместо используемой здесь меры (23.13).
*
В этих же работах показано, что отличие мер порождает слагаемые чисто
перенормировочного типа, роль которых - устранить расходимости из теории
возмущений. В остальном структура теории возмущений не изменяется. Поэтому,
ограничившись данным примечанием, мы не изменяем изложения теории возущений
для поля тяготения.
204
Для доказательства калибровочной инвариантности меры (23.13) рассмотрим
произведение П как произведение по "физическим" точ-
X
кам. Преобразование метрического тензора в одной и той же "физической"
точке дается первой из формул (23.4) без первого члена, так что
Sguv = g\i% axr]v + g^d*,?]^; 8g = -2gd(trii1. (23.14)
Поэтому
П d(g|AV + 6g,iV) = (l +5дцТ|1*) П dgg + 6g = (l-2a(1r)^)g.
|1Д v |x^v
(23.15)
Отсюда для фиксированной "физической" точки следует инвариантность
выражения g5/2 П dg^, которая обеспечивает калибровочную
H<v
инвариантность меры (23.13).
Имея параметризацию классов (23.12) и меру (23.13), получим
следующее выражение для континуального интеграла:
j exp (iS) ДЛ [gin ГП 5(dv g^-^/g5'2 П dg^v\, (23.16)
" X L Ц V jj
где в соответствии с (20.8) функционал Д;, [g] определяется уравнением
Дл ["] J П |-П 6 (av (Ai*v)0)_ /II (JC)J = 1 (23.17)
и выражается через интеграл по калибровочной группе отб-функцио- нала.
Вычислим этот интеграл. Выражение Дл [g] входит в интеграл
(23.16) только на поверхности, определяемой уравнениями (23.12). Для
таких g'iV полный вклад в интеграл (23.17) дает бесконечно малая
окрестность единичного элемента группы. В этой окрестности действие
преобразований группы на h^v и меру на калибровочной группе dQ можно
параметризовать введенными выше (23.5) инфини- тезимальными
функциями г)^ (х). В такой параметризации
dv (h^v)tJ - I" = dv (h^d)^) - dx(dvh^vf\k). (23.18)
Мера dQ в единичном элементе имеет простой вид:
^ = nndTf(*). (23.19)
л: (X
В результате интеграл в (23.17) записывается следующим образом: j П b (dv
(hvX д% т]>*)-dx(dv h^v r\x)) dry (x). (23.20)
х,ц "
Формально этот интеграл равен (det Л)"1, где А - оператор, действующий
на четверку функций rj-u по правилу
(Лт))11 = dv (hvXd^)- d>,(dvh^vrik). (23.21)
205
Таким образом, найдено, что
Лл [g] = det А.
(23.22)
Для формулировки теории возмущений удобно представить det А как
гауссов интеграл по вспомогательным полям. Эти поля должны быть
антикоммутирующими, так как интеграл должен давать первую степень
определителя. Этим требованиям удовлетворяет выражение
