Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
сводится к произведению суммы вкладов связных диаграмм на множитель
(19.31).
В учебниках по квантовой теории поля (см., например, [1-3]) диаграммная
техника строится обычно в рамках операторного мето
BF(xrXj)
(19.30)
9
ехр 2 D°t,
(19.31)
I
/ 1
(19.32)
175
да. Приведенный здесь на примере вещественного скалярного поля ее вывод
с помощью континуальных интегралов представляется более естественным.
Фейнман пришел к своим диаграммам именно через континуальный
интеграл.
Для конкретных расчетов более удобна диаграммная техника в
импульсном пространстве. Она возникает, если перейти к преобразованию
Фурье ф (k) функций поля ф (х):
Ф (*) = (2я)~4 j exp (ikx)cp {k)dlk (19.33)
и рассматривать в качестве функций Грина средние вида <Ф to)...? (*")>• (19.34)
Выражения, соответствующие элементам диаграмм - вершинам и
линиям, принимают вид
к1
S(k1 + kz)(kz-mz+ ic)'1
sK 9#(*1+*г+к3)
kz kj
(19.35)
Вклад конкретной диаграммы в импульсной диаграммной технике
получится, если произведение выражений, соответствующих, согласно
(19.35), ее элементам, проинтегрировать по всем внутренним импульсам и
умножить результат на (i/(2n)4)i-n_1, где п-• число вершин; / - число линий;
rn> d - порядок группы симметрии диаграммы.
Отметим, что функции Грина в импульсном пространстве содержат
множителем б-функцию б (2^г)> обеспечивающую сохранение
i
4-импульса:
G fa) = М (kt)8 (ИЛ,). (19.36)
i
Зная функции Грина, можно вычислить элементы 5-матрицы по формуле
5 (&!,..., kn)= lim М (^г) f PJ (^2-т')0(±^о)|2А?|-1/2(2я)-з/2]
к1^т1 (/=1 J
(19.37)
Доказательство этой формулы здесь не приводится, его можно найти во
многих учебниках по квантовой теории поля.
Объяснение и обоснование континуальным интегралам по всем нолям в
квантовой теории поля можно дать в случае, когда удается преобразовать их
к интегралам в гамильтоновой форме, являющимся обобщением на теорию
поля интегралов, полученных выше при квантовании конечномерных
механических систем. •
176
Продолжая рассматривать пример вещественного скалярного поля,
запишем в гамильтоновой форме континуальный интеграл
J ехр (iS) Пп (x)dy (х), (19.38)
л:
Для этого рассмотрим интеграл
J ехр (iS [ф, л])П п (x)d(p (x)dn (х), (19.39)
*
где выражение
5 [ф, я] = J (яд0ф - я2/2 - (Уф)2/2 - т2ф2/2 - ?ф3/3!)#х (19.40)
совпадает с действием (19.1) при замене я (х) на д0ф (х). Действие
(19.42) имеет гамильтонов вид. Соответствующая функция Гамильтона
есть
Н = Jd(r)x (я2/2 + (Уф)2/2 + т2ф2/2 + gcp3/3!), (19.41)
где функции ф (х), я (х) имеют смысл плотности координаты и сопряженного
ей импульса. Покажем, что интеграл (19.39) по переменным ф (х) и я (х)
сводится к интегралу (19.38) по всем полям. Для этого заметим, что интеграл
по я в формуле (19.39) можно взять в явном виде, если сделать сдвиг
я (х) я (х) + д0ф (х), (19.42)
после которого интеграл превращается в произведение интеграла
(19.38) по ф и интеграла по я:
Jexpt-(i/2) J я2 (x)d*x] П dn (х), (19.43)
сводящегося к произведению нормировочных множителей. В формулах для
функций Грина - средних от произведения нескольких полей - интегралы
типа (19.43) входят в числитель и знаменатель и поэтому сокращаются.
Таким образом, удалось привести континуальный интеграл в теории
вещественного скалярного поля к гамильтонову виду, искусственно введя
интеграл по новой переменной - каноническому импульсу. Такой прием
будет использован далее при доказательстве гамильтоновости конкретных
систем квантовой теории поля.
Схема континуального интегрирования по всем полям дает метод
квантования бозе-полей. В операторном формализме такое квантование
сводится к замене полевых функций операторами с бозевскими
перестановочными соотношениями.
Квантование ферми-полей можно реализовать с помощью кон-
тинуального интеграла по антикоммутирующим переменным (подробнее в
книге Ф. А. Березина [19]). Для этого необходимы следующие основные
факты.
Интеграл по ферми-полям (по бесконечной грассмановой алгебре с
инволюцией) определяется как предел интеграла по алгебре с
177
единицей и конечным четным числом образующих xh х* (i = 1, 2,...п) с
перестановочными соотношениями
с коэффициентами c0l ь1...,ьп из поля комплексных чисел. В силу
перестановочных соотношений (19.42) при i = j имеем х\ = (xt)2 = = 0, так
что степени образующих выше первой исчезают. Можно ограничиться
порядком расположения множителей, принятым в
(19.45) , так как любой другой порядок можно привести к нему с помощью
перестановочных соотношений (19.44).
Определим операцию инволюции, действующую на элемент
(19.45) по правилу
и требованием, чтобы символы dxt, dxt антикоммутировали друг с другом и
с образующими, если наложить естественное условие линейности:
При интегрировании суммы-(19.45) отличен от нуля только вклад от
слагаемого, у которого а( = bt = 1 для всех i = 1,2, ..., п.
В дальнейшем будут полезны две формулы:
где х*Ах = t?iaikxtxh- квадратичная форма образующих хг, xt,
