Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
lim JN(q0, q; to,t)=<q\exp(i(t0-t)H)q0). (17.11)
N -*¦ оо
Нетрудно проверить это утверждение в случаях, когда гамильтониан Н
зависит только от координаты или только от импульса. Если Н = Н (q) (Н
зависит только от координаты), классическое действие для описанной выше
траектории (q (т), р (т)) имеет вид
t
l{pq - H {q))dx = рх (qx - q0) + p2 (?2 - <7i) + ... +
+ pN (q - qN-.{) - JH (q (x))dx. (17.12)
Интегрируя в (17.10) по импульсам, получаем произведение 6-функций
S (<7i - 9о)б (<7г - ft)-.6 (q - qn-i), (17.13)
t
позволяющее считать выражение exp [-i J H (q (x)dx)] равным
to
exp [i (t0 - t)H (<7o)l и вынести его за знак интеграла. Дальнейшее 164
Интегрирование по координатам qlt ..., q^-i снимает 6-функций, кроме
одной, приводя к результату
б (q0 - <?)ехр И (t0 - t)H (q0)], (17.14)
совпадающему с матричным элементом оператора эволюции.
Если Н = Н (р) (зависит только от импульса), действие принимает вид
t
j' (pq - H)dx = px (ft - q0) + p2 (q2 - q1)+...
... + pN (q - qN-i) - I H (p (x))dx. (17.15)
Интегрируя в (17.10) сначала по координатам qlt ..., qu - ь a затем по
всем импульсам ръ ..., рм, получим выражение
(1/2я) j dp exp Yip (q - q0) + i (tQ - t)H (p)}, (17.16)
равное матричному элементу оператора эволюции для гамильтониана
н = н (р).
Доказательство формулы (17.11) усложняется, если гамильтониан
нетривиально зависит от координат и импульса. В этом случаедопредельное
выражение (17.9) не совпадает со своим пределом-• матричным элементом
оператора эволюции. Формула, аналогичная
(17.10) , для оператора эволюции уравнения параболического типа
доказана, например, в работе М. А. Евграфова [17]. Для уравнения
Шредингера доказательство известно лишь в случае, когда оператор Н есть
сумма функции координат и функции импульсов:
Н - Н1 (q) + #2 (р). (17.17)
В нерелятивистской квантовой механике применяются именно га-
мильтонианы типа (17.17).
Континуальный интеграл, определенный как предел выражения
(17.9) при N ->¦ оо, обозначим
я (/)
j ехр(15[/0Д])П^(т)^(т)/2л. (17.18)
Ч (*о) 1
Такое обозначение удобно, хотя и не отражает того факта, что в до-
предельном выражении (17.9) число интегрирований по импульсам на
единицу больше, чем по координатам.
Заметим, что континуальный интеграл, определяемый формулой (17.11)
как предел конечномерного, зависит от способа аппроксимации траектории
(q (т), р (т)). Это связано с тем, что при замене аргументов функции Н (q,
р) не коммутирующими между собой операторами q и р мы не имеем
естественного рецепта упорядочения. Однако операторы, имеющие
физический смысл, как правило, соответствуют функциям, в которых замена
аргументов некоммутирую-
165
1дими операторами ведет к однозначному ответу. Таким является оператор
энергии нерелятивистской квантовой механики, равный сумме
квадратичной функции импульсов и функции координат. В таких случаях и
континуальный интеграл также приводит к однозначному ответу.
Обобщим формализм континуального интеграла на системы с любым
конечным числом степеней свободы.
Действие механической системы с п степенями свободы имеет вид
s [to J] = J ^2 Pi - н />>)dx- (17-19)
Здесь qi - i-я каноническая координата; pt - сопряженный с ней
канонический импульс; Н (q, р) = Н (q1, ..., qn\ ръ рп) - гамильтониан.
По определению, континуальный интеграл для матричного элемента
оператора эволюции-это предел конечномерного интеграла,
получающегося из (17.10) заменой
(2n)~N-+(2n)~Nn; dqn-+Y] dc?k' dPk-+f\'dPi,k, (17.20)
f= l < = l
где q\ - значение i-й координаты в точке xh (k = 1, ..., N - 1); pi k -
значение i-го импульса на интервале (xh^1, xk). При этом необходимо
считать фиксированными значения всех координатq1, ... ..., qn на обоих
концах временного интервала [i0, t\.
Определенный таким образом континуальный интеграл будем обозначать
q (t)=q п
^ exp(iS) П П dql (t)dpi(t)/2n. (17.21)
<7 По)=?о t /= 1
§ 18. Квантование систем со связями
В предыдущем параграфе рассмотрено квантование конечномерных
механических систем с действием гамильтонова вида (17.19) с помощью
континуального интеграла. Теорию поля можно рассматривать как
бесконечномерный аналог механической системы со связями. Квантование
конечномерной системы со связями требует модификации континуального
интеграла.
Покажем, как выглядит континуальный интеграл для конечномерной
механической системы со связями, задаваемой каноническими переменными
q, р, функцией Гамильтона Н (q, р) и связями Фа (q, р), которые
удовлетворяют условиям (16.20), (16.21) (см. § 16). Подберем
дополнительные условия %а (q, р) так, чтобы были выполнены
соотношения (16.27) и (16.28). Основное утверждение со
166
стоит в том, что матричный элемент оператора эволюции дается кон-
тинуальным интегралом
Jexp j i j ^ Д Pi (?' P^j dT} П dp(q(r), р(т) ), (18.1)
в котором мера интегрирования определена формулой
ф(/)=(2я)-^е1||{Ха,фП1|П5(Ка)5(Фа)П dqi^dp^t). (18.2)
а / = 1
Для доказательства преобразуем интеграл (18.1) с мерой (18.2) к
