Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
определенной и однозначной операцией, если оно применяется к
произвольным тензорам. Интегрирование однозначно только тогда, когда р-
форма интегрируется по р-мерному пространству. В этом случае оно может
быть проведено так, что в результате получится скалярная, не зависящая от
системы координат величина. Поэтому интегральные законы сохранения в
электродинамике, имеющие инвариантный смысл, суть
$ f = 4яр (р - магнитный заряд);
С*
§ *f = 4яq (q - электрический заряд);
с2
с2 - замкнутая 2-мерная поверхность.
Факт существования векторного потенциала означает отсутствие
магнитного заряда: J f = J DA = [ А = 0, так как дс2 = 0 (дс2 -
с9 сг дс9
граница с2).
Если многообразие метризовано, можно ввести операцию сим-
метричного дифференцирования форм б, обобщающую операцию взятия
дивергенции от вектора:
(М*. р~раНГ И'
102
С помощью инвариантных операторов D и б можно определить ин-
вариантный волновой оператор А = ?>б + 8D [33]. Оператор А является
топологически и метрически самосопряженным оператором, т. е. равны друг
другу следующие скалярные произведения: (Аа, р) = (а, Ар) = (а, *А*-1Р), где
операция * определяется как
Индексы у коэффициентов сподняты с помощью метрики §ik> -"-
мерный символ Кронекера.
Решения уравнений вида Асо + ц = 0, где р - форма, в евклидовом
пространстве всегда являются гармоническими формами.
Используя инвариантные операторы D, б и А, нетрудно показать, что
свободные уравнения Максвелла не являются волновыми. Они становятся
волновыми при выполнении дополнительных условий D6A = 0, частный
случай которых - условия Лоренца 6А = 0. Условия Лоренца -¦ не
единственные условия, выделяющие волновые решения. Например, если
вектор-потенциал Ай совпадает с вектором Киллинга, т. е. d()Av = -дгАц, то
условие 6А = 0 выполняется и приводит к волновым уравнениям для Ар,. В
общем случае волновые уравнения векторного поля имеют вид
ААр = (D6 + 6D) Ар = KpV; v-(Av; v); p = -Vv Vv A^-Rl Av = 0.
Их можно получить из лагранжиана, если условия Лоренца явно учесть в
лагранжиане. Здесь Rр - тензор Риччи, V v - ковариант- ная производная.
Для топологического лапласиана всегда можно построить функции
Грина. Поэтому полезно обобщить топологический лапласиан на формы со
значениями в некоторой алгебре Ли. Такое обобщение с помощью
"удлинения" ковариантной производной было предложено и использовано
для инвариантной формулировки гравитационных волн в [4, 34]. Операторы
D и б, определенные через удлиненные ко- вариантные производные,
обладают теми же свойствами, что и операторы де Рама, т. е. D2 = б2 = 0, А =
D8 + бD, DА = AD, 6Д = = Аб. Если топологический лапласиан де Рама в
координатной записи в римановом пространстве имеет вид
то топологический лапласиан для форм со значениями в алгебре Ли
определяется как
(Асо)*,... /,р = -
р
¦v... v
(A(c)"),1...,p = -v'V/4I...,p + + J] (-i)v (v*v
vl-v'ygco;
a
103
где kv - пропущенный индекс; Vj - удлиненная ковариантная производная.
Таким образом, в искривленном пространстве вид волнового оператора
зависит от тензорной размерности полей. Далам- бертиан сохраняет свой вид
при переходе к неевклидовым пространствам только для скалярных функций
в отсутствие конформных преобразований интервала. Конформные
преобразования изменяют вид инвариантного волнового оператора и для
скалярных полей.
Метод внешних форм. Уравнения структуры и отображение мно-
гообразий. Рассмотрим гладкое многообразие, покрытое координатными
окрестностями. На нем в окрестности каждой точки зададим систему
пфаффовых форм [35]:
(c)' = Xj dx>; = Y)dyi, (10.11)
* У
где dx', dy1' - дифференциалы координат в окрестности точек х и у
соответственно. Назовем их главными формами. Пусть на пересечении
окрестностей точек х и у соответствующие координаты связаны
дифференцируемыми преобразованиями у' = у1 (х). Потребуем, чтобы на
пересечении окрестностей точек х и у формы со1' и
X
оУ совпадали (были инвариантными формами):
у
<at = Y,i^- = af = X,k'. dxk. у
dxk * '
Из этого требования получим закон преобразования для коэффициентов 1 -
форм:
Xk = (dyi/dxk)Ylj. (10.12)
Закон преобразования (10.12) обеспечивает инвариантность форм со1' на
пересечении различных координатных окрестностей. Переходя от одной
точки к другой, можно задать "У на всем многообразии.
Система форм оУ [т. е. система уравнений (10.11)] вполне интегрируема,
так как п переменных зависят от п дифференциалов. При этом требуется,
чтобы матрица коэффициентов X1. была невырожденной.
Условия интегрируемости систем уравнений, как известно, находятся их
внешним дифференцированием. Для системы уравнений
(10.11) внешнее дифференцирование приводит к следующим соотно-
шениям:
Def^dX) A dtf =dX) A X-W = ю* А (-йХ)%), (10.13)
гдеПаУ - внешний дифференциал от оУ; Х{ - матрица, обратная матрице
Х\ и удовлетворяющая условию dx< = Х'ьоА. К выражению, стоящему в
скобках в уравнении (10.13), не меняя его, можно добавить член где
