Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Максвелла.
Будучи записаны через вектор-потенциал в лоренцевой калибровке,
уравнения Янга - Миллса выглядят следующим образом:
? Ац + 2 gAv X (2 dvA". - д^Ач - 2 gA^, X Av) = 0. (2.9)
Сферически-симметричные решения классических уравнений Янга
- Миллса. Свободные поля. Сходство классических
калибровочных полей с электромагнитным полем продемонстрировали
Икеда и Миячи в 1962 г. [28] и затем Лос [29] в 1965 г. Они получили
статические сферически-симметричные решения уравнений Янга - Миллса
без источника в лоренцевой калибровке для случая изотопической и SU (З)-
симметрий. Лос, кроме того, показал, что сферически-симметричные
решения уравнений для калибровочного поля с любой внутренней
симметрией приводятся всегда к ку- лоновскому виду. В самом деле, в
общем случае сферически-сим- метричное решение уравнений Янга -
Миллса имеет вид:
At = (хЧт) f (г, t),i= 1,2, 3;
А4 = i<p (г, t),
или в полярных координатах: Ar = f (г, t); А0 = Аф = 0; А4 = = i q> (г, t).
Уравнения (2.9) принимают в статическом случае вид:
Af- 2 Mr2 + 2 g [f X f' + фХф' + 2g<pX(fX(p)] = 0; (2.10)
Аф -f 4 gf X [ф' + gf X ф] = 0. (2.11)
26
Условия калибровки дгАг = 0 переходят в условия Г+ 2f/r=0. (2.12)
Здесь штрих означает дифференцирование по г, А - оператор Лапласа.
Интегрируя (2.12), получаем f = а/г2 (а - константа интегрирования). Тогда
(2.10) и (2.11) дают:
Ф = 0 - тривиальное решение этих уравнений. Пусть ф ф 0. Тогда из (2.13)
следует существование такой скалярной функции Я (г), что
Подставив (2.15) в (2.14), получим (Я' +
W ф = 0,
откуда Я = ?(1-к/г)~г, k-константа интегрирования. Когда Я=?0,
(2.15) сводится к уравнению
г2 (Яф)' = - 2 ga X (Яф).
Общее решение этого уравнения:
Ф = (1 - klr) [а + b cos (2g| а |/г) + с sin (2 g| а j /г)], (2.16)
а, b и с - константы интегрирования, удовлетворяющие условиям: аХ а -
0; | а | с = а X b; | а | b = - аХ с. Это значит, что:
1) а || а; 2) а, b и с образуют правостороннюю ортогональную систему и 3) |
b | = | с |. Когда Я = 0 (т. е. k = 0), общее решение
(2.15) дается формулой (2.16), в которой надо положить k = 0.
В случае а X ф Ф 0 решение (2.15) обладает следующими свойствами.
При перемещении из одной точки пространства в другую вектор ф
"вращается" в групповом пространстве вокруг "оси" а, причем угол а между
а и ф всюду постоянен. "Угловая скорость " со этого вращения получается
следующим образом. Компонента "скорости" конца вектора ф в направлении
а X ф, найденная из уравнения (2.15), есть
>ХФ).ф- =_2 uaa__2f|.|.W|J^L, (2.17)
(аХф | г2 гг
Если разделить (2.17) на расстояние конца вектора ф от "оси" а (т. е. на |
ф | sin а), то получим выражение для "угловой скорости" со = - 2 g | а | /г2.
Частное решение Аг = 0; А4 = i (сJr + с2); сх = (0, 0, сх)\ сг = (0, 0, с2); си с2 ==
const назовем каноническим решением. Его можно интерпретировать как
нейтральное В-поле.
Ф X [ф' + 2 ga. х ф/г2] = 0;
(г\'У + 4 ga X [ф' + ga X ф/г2] = 0;
(2.13
)
(2.14
)
г2ф' = - 2ga х ф +Яф.
(2.15)
27
Итак, для В-квантов поля Янга - Миллса имеем каноническое
решение:
Ему соответствует тензор напряженности поля с компонентами:
где ср определяется формулами (2.16) и (2.17). В этом случае
Общее решение выбором калибровки может быть приведено к ка-
ноническому виду.
Сохраняющиеся интегральные величины удовлетворяют соотношениям:
4ясх = - 1 f J4 d3x; 4nk (a + b) = i j J4d3x.
Сферически-симметричное решение для калибровочного поля с SU (З)-
симметрией, найденное Лосом, аналогично по своим свойствам решению
Икеды и Миячи для изотопической симметрии, приведенному выше.
Компоненты вектор-потенциала в решении Лоса имеют вид:
где Р = р0 - c'dj (3)/г; Нх, Н2, Е3, Ь_3 - генераторы SU (3); Нх = {УЩ 13; Н2
= (1/2) Y.
Корневой вектор аI (3) = (-}3/'6, 1/2) принадлежит Е3; с', а -
вещественные константы;
Fri = - (iair2) [Е3 exp (ф) + E_3 exp (-ф)]. (2.23)
Как и в случае изотопической симметрии, решение (2.22), (2.23)
приводится к кулоновскому виду с помощью преобразования S = = exp
(iciHjlr) при условии c'aj (3) = 0, которое означает пропорциональность
c'Hj выражению Q = I3+ V2Y, т. е. Аг пропорционально электрическому
заряду Q.
При изменении г, как и в решении Икеды и Миячи, вектор гАг вращается
в групповом пространстве. В результате при больших r Р Ро и для г > с<а}
решение практически кулоновского типа.
Если положить скорость света равной единице (с = 1), то коэффициенты
в формулах можно выбрать так, чтобы матричные элементы Аг имели
размерность 1/1, где / - длина, а генераторы группы, корневые векторы и а
были безразмерны, с1' ~ I. Тогда c'aj ~ I, где I определяет размеры области,
внутри которой поле короткодействующее, а снаружи быстро стремится к
кулоновскому виду.
Bi = 0; В4 = 2i (Cj/г + с2)-Т.
(2.18)
ftj == 0; fa = 2i (x7r2) cx T.
Общее решение:
Bi = 2 (xl/r3) a • T; Z?4 = 2 iq> • T,
(2.20)
(2.19)
3-ц = 0; fu = - 2 il (x'Vr3) <p • T.
(2.21)
