Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
группы фазовых преобразований волновых функций (градиентных
преобразований второго рода), если
23
в лагранжиане обычные производные заменить ковариантными по правилу
(5^ -> Уц = 5ц - \еА ц, где А ц - вектор-потенциал электромагнитного поля,
е - электрический заряд. Возможность такой замены говорит об
универсальности электромагнитного поля и соответствующей константы
связи е. В то же время она означает, что взаимодействие, введенное с ее
помощью, допускает чисто геометрическую трактовку на языке
коэффициентов связности пространства-времени. Последнее было
продемонстрировано самим Вейлем, который показал, что электромагнитное
поле можно отождествить с дополнительными неметрическими
коэффициентами связности пространства-времени, а локальные
калибровочные преобразования-с растяжениями 4-мерного интервала,
зависящими от точки. В пространстве Вейля имеется любопытный
геометрический аналог квантования орбит по Бору. Именно, если
рассматривать ку- лоновское центрально-симметричное электромагнитное
поле (атом водорода) в пространстве Вейля, то оказывается, что боровские
орбиты (орбиты электрона) - это те траектории, вдоль которых па-
раллельный перенос вектора не изменяет его длины [26, 27]. Любые другие
траектории в пространстве Вейля этому требованию не удовлетворяют.
Основные черты вейлевской трактовки электромагнитного поля
(универсальность, геометризуемость, наличие классических аналогов
квантования) сохранились и в современной теории калибровочных полей.
Поля Янга - Миллса. Требование локальной изотопической
инвариантности аналогично требованию калибровочной инвариантности
заряженных полей ф' = ехр [га (х)] ф в электродинамике, где такая
инвариантность обеспечивается введением электромагнитного поля А ц,
преобразующегося по закону
<4,1 = Лц + (1/е) да/дх", (2.1)
и заменой в уравнении Дирака обычной производной-"ковариант- ной":
Зц -Vц = Зц 1еА ц.
Аналогично локальная изотопическая инвариантность обеспечивается
заменой
Зц Уц = Зц - igBц, (2.2)
где Вц представляет собой 2x2 матрицы (% = с = 1; х4 = i^), из которых три
эрмитовы (р = 1, 2, 3), а В4- антиэрмитова; g - изотопический заряд.
Из требования инвариантности
5 (Зц - IgB'J ф' = (Зц - igB") ф (2.3)
получим закон преобразования для В" (В-квантов поля Янга - Миллса):
в" = s-'b^s + (i/g) s-1 ds/dxi*.
Последний член подобен градиентному члену в калибровочном пре-
образовании электромагнитных потенциалов.
24
По аналогии с тензором напряженности электромагнитного поля F,xV
строится тензор
fll4 = dBjdxv - dBJdxu- + ig (B^Bv - ByB^),
преобразующийся по закону fnv = S 1 Г
(2.4)
Изложенный выше ход рассуждений можно применить к полю ф с
произвольным изотопическим спином. При этом будут изменяться матрицы
S, т. е. представление группы вращений в 3-мерном пространстве. Различные
поля с одинаковыми полными изотопическими спинами, т. е. принадлежащие
к одному представлению S, взаимодействуют с одним и тем же матричным
полем Вц. Произведение представлений S - 5(?!) 5(6) порождает сумму
Диполей, соответствующих каждому представлению: В^ = В 1а) + ВЪЬ). Поле
В^ можно представить в виде
где Т - матрица представления группы изотопических вращений 03, а поля
Ац одинаковы для всех представлений. В изотопическом пространстве Ти Ад
- 3-мерные векторы. Тогда
F,j.v = dAJdxv - дА Jdx^ - 2 gA№ х Av.
Одни и те же Fu,v взаимодействуют со всеми полями -ф безотносительно к
представлению S, к которому относится ф. Если рассматриваются лишь
инфинитезимальные изотопические калибровочные преобразования S = 1-2
iT • 6га, то преобразования А^ выглядят следующим образом:
Здесь 8га - совокупность параметров преобразований. Заметим, что
выделить инфинитезимальные преобразования можно только в том случае,
если локализуемая группа является группой Ли.
Выберем плотность лагранжиана, инвариантную относительно локальных
изотопических калибровок, в виде
L = -(1/4) F^-F^-(^м--igT-An)^-тфф.
Варьирование этого лагранжиана по А,* и ф приводит к следующим
уравнениям:
dvF^ + 2g(AvxF^)+J^ = 0;| 2 б)
V11 (дц-igt-Ац) ф -)-/пф =0, J
где Дивергенция не обращается в нуль:
di4dxIх = - 2 gAM х J^.
= 2АЙ • Т,
(2.5)
Ац - А^ + 2 Ац X бю Н- (1/g) дйбга.
25
Если, однако, ввести величину jn = jn +
2 gAv х F^, то получим закон
сохранения в виде
д!"/дх" = 0. (2.7)
Уравнения поля можно дополнить условием на А^, аналогичным
лоренцевой калибровке для электромагнитных потенциалов:
дА Jdx& = 0.
Это условие устраняет скалярную часть в поле А^, оставляя компоненты,
соответствующие спину 1, и налагает ограничение на возможные
изотопические калибровочные преобразования. Именно, преобразование S =
1 - it-6(o должно удовлетворять условию
д26ю/дхи2 + 2 gA(l х два/дх^ = 0,
которое, используя (2.2), можно представить в виде
= 0.
Это аналог условия на параметры градиентного преобразования (2.1) в
электродинамике:
д2а/дхМ'2 = 0. . (2.8)
Как известно, условие (2.8) выделяет волновые решения в уравнениях
