Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В [3] показано, что из классической скобки Пуассона полу-чаются уравнения Томаса - Ферми для распределения заряда в атом (с обменной поправкой). Добавочные члены в (5) велики вблизи ядра. Кроме того, они велики вблизи верхней границы энергии в импульсном пространстве, где р обрывается. Поэтому поправка относительно велика и на больших расстояниях от ядра, где общее число заполненных состояний невелико. В применении к ядру классическая скобка Пуассона может стать недостаточной вблизи границы ядра,
В [4] была сделана попытка исправить метод Томаса - Ферми, вводя вблизи границы ядра "поправку на кинетическую энергию", содержащую производную от плотности. Строгое выражение (5) не сводится к выражению, полученному в [4], так что упомянутая поправка работы [4] вряд ли имеет количественный смысл.
Может оказаться, что классическая скобка применима к ядру во всех точках пространства (кроме очень малой области вблизи внешней границы, где велики высшие производные величин). Пусть, например, решение уравнений самосогласованного поля покажет, что производная др/дх имеет порядок величины pfR (R - радиус ядра), а не порядок р/г0 (г* - радиус действия ядерных сил). Так как импульсы частиц в ядре порядка 1/г0, а R ~vV'\ то второй член в (5) меньше основного (классического) в отношении А~2к, что для тяжелых ядер составляет примерно
0,025, Если же из уравнений самосогласованного поля окажется, что р переходит от значения вблизи центра ядра к нулевому значению на расстояниях, сравнимых с гй, то квазиклассическос приближение в применении к ядру не лучше, чем представление ядра в виде прямоугольной потенциальной ямы.
Анализ уравнений самосогласованного поля, проведенный нами п статьях [1, 5], показывает, что переходная область на границе ядра, во всяком случае, несколько больше радиуса действия ядерных сил. Поэтому можно попытаться применить метод Томаса - Ферми к короткодействующим ядерным силам, проверяя законность метода по виду распределения плотности. Наибольшая точность, которую можно ожидать,- порядка А~7з, тогда как в наихудшем случае результаты будут иметь лишь ка~ чественный характер. Что справедливо на самом деле - сказать пока нельзя.
Гораздо труднее доказать применимость к ядру метода самосогласованного поля Фока до перехода к квазиклассическому приближению. Существование ядерных оболочек с определенными значениями орбитального момента заставляет предполагать, что метод самосогласованного поля к ядру применим.
236
\
Матрица плотности определяется, как известно, таким образов :
Р (q, q) =: ^ ifv (Я) фо (?'). (6)
Здесь ^ означает совокупность координат нуклона, т, е. его геометрическую координату, механический и изотопический спин, a v - совокупность соответствующих собственных значений.
Будем, как обычно, искать ф"(9) в виде произведения волновых функций, зависящих от пространственных координат х} механического спина s и изотопического спина /:
^ (?) = Ьх (х) ф* (s) г|зг (0* (7)
В отличие от предыдущей работы [1], мы учли, чтопростран-ственные волновые функции нейтрона (т*=1) и протона (т*-
- - 1) различны. Теперь мы получим систему уравнений самосогласованного ноля, уточненную в этом отношении по сравне-нию с [1]. Влияние механического спина мы рассматривать не будем, а поэтому учтем только бесспиновые силы. Иначе говоря, будут написаны уравнения самосогласованного поля для взаимодействий следующего вида:
V^-gHe'^/r), (8)
П=-И*Л) (*"*>) (9)
и для кулоновского взаимодействия
= -¦ (10>
4 г
Учитывая, что собственную функцию спина можно записать как
•"М0=й"; 'Ms)=6<m (П)
перепишем матрицу плотности в виде
Р (.xst, x't'$r) = Р (.ххо, х'х'о') =
(tm) бтх'йснт' 2 W "Ф(tm) = ^тт'^га'Рх (^1 X )• (12)
и
Здесь хг) - матрица плотности нейтронов, х') - мат-
рица плотности протонов.
Операторы взаимодействия V входят в гамильтониан взаимодействия Я*',- уравнений самосогласованного поля (1) в форме
(B-AW = Г f dqU) dqw [V (q'qw-, q\f]) -
-V(q'qw\ q(i)q'")\P{qli\ g(6)). (13)
237
Здесь первый член в квадратных скобках под интегралом описывает прямое, а второй член - обменное взаимодействие. Операторы Vb V2 и У3 представим в виде
где Fu F2 и Fc означают пространственные части соответствующих операторов.
Пользуясь равенствами (12) - (14), можно выразить операторы взаимодействия В-Л через матрицу плотности и операторы V. Для обычных сил, зависящих только от пространственных координат, получаем
= б00 бтт- f [26 (*'-*") 6 (х{1) - х(Б>) Рг (x'-.vVp (x(3V4}) -
Здесь р означает pi-bp-i. Симметричные силы, зависящие от изотонического спина, приводят к выражению
В (16) входят только обменные силы, т. е. только Aq'q~. Наконец, кулоиовские силы действуют на одну протонную компоненту и дают
Для перехода к квазиклассическому приближению надо представить рг (х'х"') в форме (2). В компоненте Фурье теперь можно
х ^ (6,Y------------lift") (6,(4),w - Тг<4),(а)) S {х' - х'") 6 (xW -
- xw) FС (х'-х\
-Fl{x' - xm) Р,(*У") fioo-fttt'.
(15)
{B - A)q'". = -6acI'SXT'F" (x'-x') [2p (*'*") - pt (xV")]. (16)
{B-A)Q,q," = 25 (x'-x'") f dxU]Fс (x'-xw) P., (.iU).v(1)) -
