Учебное пособие по курсу Оптика - Колмаков Ю.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dr
пх = = WS. dr
Это основное уравнение геометрической оптики или уравнение эйконала. Проинтегрируем уравнение эйконала вдоль траектории луча, распространяющегося из точки 1 точку 2: ¦dS
I rndr = j—dr = J dS = S2-S1.
і i^i
Результат интегрирования не зависит от траектории!
Но если двигаться вдоль истинной траектории луча, то лишь для этой траектории угол между векторами dr их равен 0° и с учетом \dr\ = dl получаем
2 2 2
^nxdr = |и|х I JrI cos0° = jnd? = S2-S1 .
і і і 2
Величина jnd? называется оптической длиной пути луча. Для любой другой
і
2 2 2 произвольной траектории ^nxdr' = jnd?' cos0 =S2-S1K jnd?'.
і і і Получили общий принцип, позволяющий определить истинное направление движения (светового) луча:
В любой среде луч движется по пути с наименьшей оптической длиной:
2
jnd? = min = S2 - S1 (при этом оптическая длина пути равна изменению эйкона-
1
ла).
Это принцип Ферма, определяющий ход лучей в оптике. Подставляя сюда
С Г Г г
п = —, находим nd? = с — =с \dt = cAt = min. Отсюда вторая формулировка
U Iiu 1
принципа Ферма:
Луч (света) распространяется по такому пути, который преодолевается им за наименьшее возможное время.
Уравнение эйконала дает приближенное решение уравнений Максвелла в случае X 0 или к оо. Поэтому из этого уравнения или из принципа Ферма можно получить некоторые законы, полученные в волновой оптике. Например - закон преломления света. 91
Пусть луч света из точки А с координатой х=0 падает на плоскую границу двух сред с показателями ПреЛОМЛеНИЯ П] и П2 в точке Д с координатой je и отражаясь или преломляясь, проходит через точки В или С с координатой х = ?. По принципу Ферма оптическая длина пути в
Lamp =\ndi = nx(AD + DB) =
А
= W1 ^УУ\ + X2 + л]у2 + (?- х)2 j должна быть минимальной на пути ре-
ального отраженного луча, т.е.
dl
отр
dx
= O = H1
1-х
лІУЇ+х2 ^y22+(?-хУ
Отсюда
получаем sina = sin ? или a = ? , т.е. угол падения равен углу отражения!
Аналогично, для преломленного луча должна быть минимальна величина
с
Lnp =^ndl = Ti1 ¦ AD + п2 ¦ DC = Jt1-Jy1 + х2 + n2-Jy2 +(I-х)2 , т.е.
dL„
пр
dx
= O = H1
Il
УІУі +X2
Л г -п
1-х
sina
E 11
А UB С 0
а " 4^ b
= H1 sina - п2 siny = 0, т.е.
siny H1
/
Получили закон преломления (закон Ci іеллиуса-Декарта).
Подобным же образом из принципа Ферма можно вывести формулу линзы.
Испущенные из точки S лучи одновременно! (согласно принципу Ферма -через наименьшее возможное время) соберутся в точке Р, давая изображение источника S.
Действительно, источник света S находится в среде с показателем преломления nj на расстоянии а от сферической поверхности радиуса R , отделяющей среду с показателем преломления H2 .
Лучи света соберутся в точке S', давая изображение источника (на расстоянии Ъ от поверхности раздела сред). 92
Замечание: соберутся только те лучи, для которых выполняется условие параксиальности, т.е. которые расходятся под очень малыми углами а к оптической оси!
Т.е. все формулы линз, используемые в геометрической оптике, справедливы только для параксиальных лучей и с помощью фотоаппарата из таких линз нельзя снимать предметы вблизи ( а вдали - теряются детали предмета).
По принципу Ферма оптические длины всех лучей, собирающихся в точке S', одинаковы, т.е. H1 ¦ SM + n2MS'= пха + п2Ъ или, если провести окружность радиусом SD=SE=a, и S 'M=S 'B=b , то DM -H1=BE-H2. Для параксиальных лучей
а « 0 и /г «/г'; DM « AC = AE + ЕС. Но -J SD2-h2 = a-^a2-h2 = a-aJ 1- -1 .Т.к.
а
«1, TO11-
A
1-
ґН\г
а
и AE « —. Аналогично находим ВС и ЕС. Тогда 2 а
h2 h2
BE = EC-BC =---. Поэтому
2 R 2 Ъ
^h2
h^ — + —
Ia 2 R
^h2
H1 =
,2 Л
2 R 2 Ъ
H, И, H1-H,
H7 или — + — = —-L
а Ъ R
РУ L-<J? I h І
E 1С Об"
а ^ b
Получили формулу сферической поверхности (аналогична формуле линзы). Получим ее теперь другим способом.
Используем закон преломления, полученный из принципа Ферма. Легко увидеть (см.рисунок), что ? =Ot +ф , у =ф - 8 . Но для параксиальных
лучей (малые углы)
ф « вШф
R
H2 _ sin ? ^ ? H1 sin у у h
а «tga « —;
т.е. и2(ф-8) = H1 (а +ф).
rh К
8 «tg8
h b
и
Hn
R b
rh h
+ ¦
a R
In1 или
a b
R
Если источник S находится на бесконечном удалении: а = оо, то он создает
пучок параллельных лучей, которые должны сойтись в фокусе: b=f, т.е.
h \ \ с1
0 'Cj С-si- E ^-?7-
EO=MO=R
SE=a
S'E=b
и, - п, и, ^
2 -L = -^ = D.
R F
Величина D называется оптической силой сферической поверхности.
Пусть теперь лучи от источника S падают на вогнутую поверхность раздела двух сред (см.рисунок).
Тогда а =ф - ?; ? =ф -а ; у = Ф + ? и для параксиальных лучей 93
(малые углы) ф «віпф
R
а «tga
5
а из закона преломления
sin ? siny
Ф-а
т.е.
h h) — + — \ = п, R Ъ) '
п,
V
h h) , ,
---или — + — =
R а
п2-п з
а
