Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
служить аналог источника или стока в несжимаемой жидкости. Именно, если в
цилиндрических координатах
vr = vr (г), ^ = 0
(уг — функция одного только г), то, так как по уравнению Бернулли
Если г, — радиус того круга, на котором v обращается в единицу,
(20.6)
(v=\vrlat\), а вследствие уравнения неразрывности,
мы можем написать:
то постоянная интегрирования
174 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
возникнуть предельная линия, в чём мы и имели случай убедиться на
конкретных примерах § 19.
§ 21. Построение «безударного» сопла Лаваля. Истечение газа из отверстия,
сопровождаемое переходом через скорость звука. В § 12 мы видели, как
можно путём подбора профиля стенок получить равномерную сверхзвуковую
скорость в сопле Лаваля, после того как уже получено сверхзвуковое
течение в некотором сечении сопла. Подбор стенок производится в
сверхзвуковой области. На первый взгляд может показаться, что форма
стенок в дозвуковой части сопла — так называемой входной части — может
быть произвольна, лишь бы можно было достигнуть перехода через скорость
звука. Однако это не так. Затруднения с отысканием решения, о которых мы
говорили в предыдущем параграфе, здесь проявляются особенно отчётливо.
Если профиль входного отверстия будет произвольным, может оказаться, что
переход через скорость звука будет сопровождаться появлением бесконечных
ускорений. Физически это будет означать, что движение перестроится, так
что сразу течение будет «испорчено». На рис. 61, заимствованном из статьи
Астрова,
Левина, Павлова и Христиановича’), даны результаты экспериментальных
измерений распределения давления р/рп вдоль оси одного сопла Лаваля.
Сопло это было рассчитано без учёта возможности
') Астров В., Левин Е„ Павлов Л„ Христианович С., О расчёте сопел Лаваля,
ПММ, т. VII, 1943.
^
% 211 ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 175
возникновения разрыва. Как видно на рисунке, недалеко от линии перехода
(на ней р/р0 — 0,528) в сверхзвуковой области возник разрыв; он породил
возмущение, отражающееся от стенок сопла н распространяющееся по всей
длине сопла. Равномерность потока оказалась испорченной.
Как же следует построить входное отверстие, чтобы скачок не образовался?
Как построить безударное сопло Лаваля?
В качестве простейшего приёма можно, казалось бы, предложить следующий1).
На оси симметрии сопла, каковую мы примем за ось Ох, с началом координат
в точке линии перехода, зададим скорость vx как некую аналитическую
функцию от х. Пусть разложение этой функции в ряд около точки х = 0 имеет
вид:
vx =??*-= I +Лх + ?х2-ЬСх3-+- ... (21.1)
Уравнения газовой динамики [см. (15.1)]:
где Ф — безразмерный потенциал скоростей, так что
(2,-3>
вместе с условиями симметрии и условием (21.1), позволят тогда
последовательно определить в точке О (0, 0) любую производную от Ф_по х и
у. Так, например, из условия (21.1) имеем для точки О: дФ[дх = 1, а из
условия симметрии: дФ/ду = 0 (vy — 0). Затем из того же условия (21.1)
д2Ф/дх2 = А, из условия симметрии д2Ф)дхду = 0, из_ уравнения (21.2)
получим д2Ф/ду2 — 0. Далее, д3Ф[дхг=2В, д3Ф/дх2ду — 0; производные же
д3Ф(дх ду2, д3Ф(ду3 определим путём дифференцирования (21.2) по х и из
условия симметрии и т. д. Производя эти совершенно элементарные выкладки,
получим:
Ф = х + А^ + В^ + !й±»^ху1+с* +
+ (« +1) л & — '>А' + 68 + А'у + ... (21.4)
176 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Теперь мы можем написать разложения для vx и vy: vx = 1 4- А X + fix2 -ь
(-/. + 1) — У2 4-
+ Сх3 + (я + 1) Л (2х~1) + 66 X? + • • • (21.5)
®, = (* + 1 М**у + (х + \)А (2у-~1М2 + 6В x2y +
У3+ ... (21.6)
и путём простых квадратур определить функцию тока ?: f = f ^-{vxdy—vydx),
i=[1 + •
Одну из линий тока Ф = const. можно принять за стенки сопла. Сходимость
участвующих здесь рядов обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской,
благодаря аналитичности функции vx (х, 0). Однако радиус сходимости по
оси Оу заранее неизвестен, и это сразу же заставляет отбросить изложенный
здесь метод построения сопла. Действительно, так как неизвестно, на каком
расстоянии мы ещё можем пользоваться нашими рядами, то заранее мы не
знаем, не встретимся ли мы с тем же затруднением, о котором говорили в
предыдущем параграфе: наше решение может оказаться не имеющим смысла за
некоторым у.
Изложенные здесь подсчёты дают, однако, совершенно строгие значения
производных в точке О от Ф и ? и полезны для ориентировки. Они
показывают, как ведёт себя движение недалеко от линии перехода в случае
аналитического решения на оси. Так, например, они позволяют дать
уравнение линии перехода около самой точки О. Именно, если искать это
уравнение в виде
х = а&* + ау+ .... _ (21.7)
то, вставляя (21.7) в (21.5) и (21.6) и написав условие vlx-\-v2y=\,
получим без труда:
х — — Ay1 — АВуА
Далее, для характеристик обоих семейств, выходящих из О, будем
§ 211 ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 177
И если искать их уравнение в виде
то для 1-го семейства (знак плюс) получим:
