Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Эти равенства, справедливые всюду, запишем для нашей заданной
Члены, стоящие в правой части этих уравнений, известны все, за
исключением (дф/<?X) и (cty/djx). Найдём эти выражения. Очевидно, что
если двигаться вдоль нашей кривой (18.26), будем иметь
X = A(i*) или ц = М(Х).
(18.26)
(X) = фх (X) + [X + м (X) + с] (-^) .
'1,2(!х) = ф2(!А) + [^-(!х) + 11 + с]
(18.30)
С другой стороны,
-g-b|iM'(X) = 9;(X)
или, если воспользоваться (18.10) и (18.25),
(18.31)
Из (18.30) и (18.31) мы
(18.32)
(18.33)
154 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. !
Остаётся подставить (18.32) и (18.33) в правые части (18.29) и провести
квадратуры. Постоянные интегрирования найдутся из условия совпадения ср и
ф с заданными значениями из начальной кривой.
Мы приняли приближение (18.25). Аналогичным образом решается задача при
УХ = с)2.
Задача II. Если в задаче I пришлось брать ещё квадратуры, то задача И
решается совершенно элементарно. Имеем две характеристики: X — Х0
и [а = р0, выходящие из одной точки (рис. 14 и 15).
На этих характеристиках движения известны. Пусть будет
при X = Х0 ф = ^ (р),
при p. = р0 ф = ф2(Х),
причём ф1(|*о) = ф2(\))-
Тогда, полагая в (18.28) Х = Х0, мы получим:
(18-34)
а полагая р —р0, получим:
(18.35)
Кроме того, первое из этих соотношений даст нам:
W2 (р) = - W, (Х0) + (Х0 + Р + с) ^ (Р).
Из (18.35) имеем:
Чд0-) = — Ч'г (ро) + “Ь P-о ~Ь с) ^2 У)-Поэтому окончательно мы получим:
Ф(Х, р) - (Х°++ с) (|Л) +(Х +j^+ у2 (Х) ~ (Х° + +с) ^ .
(18.36)
Задача III. Движение задано вдоль одной из (заданных)
характеристик. Пусть, например, при Х = Х0 будет ф = ф2(р), где
ф2—из-
вестная функция. Движение происходит между этой характеристикой и
стенкой, причём уравнение последней мы напишем в виде х — Хф), у=Кф) и на
стенке примем ф = 0. Ищем вновь решение в виде (18.28). Полагая сперва
там Х = Х0, получим:
^(p) = 5-..go:l±y); (18.37)
постоянной (Х0); сделать, заметим, что если
(18.40)
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 155
[ вдоль стенки, где ф = 0 и —0, получим по (18.22):
* I dp. |.
р "г ф dp (?
последнее равенство можно написать, вследствие (18.10), в виде:
+ (18.38)
С другой стороны, вдоль линии стенки (ф = 0) будет:
^1М + ^а(|0 = 0 (18'39)
(X) д<\> _ ([а)
д\ X 4~ [л •)- с ’ d,u. X 4~ р- 4~ с
Таким образом, комбинация, входящая в (18.38), будет
Киж-вд!
2>f; iii dp
Итак, мы можем дать формуле (18.38) вид
4^ = А ? р (С + с) cos ^ (^4±) [!+-§]. (18.41)
Наконец, мы можем сюда подставить ?2 из (18.37) по формуле ^2 (1^) = -|г
К^о +11 + с) <Ь (Iх)] ?
Мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для
определения вдоль стенки С в функциях от р. Дальше решение сводится к
квадратурам.
Задача IV. Эта задача решается значительно проще, чем предыдущая. Вдоль
свободной поверхности, которая есть линия тока, пусть будет ф = 0. Кроме
того, на свободной поверхности давление и, значит, скорость известны;
пусть будет там С = Сг. Тогда:
+ если Х+^ = С1.
Далее, вдоль характеристики (см. рис. 18), пусть это будет X = Х0, имеем
ф = ф2 (р.), где ф2 — заданная функция. Тогда
156
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ, I
Ч?2 (|Х) = (Х0 + у. + с) ф2 (р) _ W, (Х0)
^ 00 = - (>ч> + « + Сх - X) ф2 (Сх - X) - W, (Х0).
Постоянная 4ri(X0) определится из условия совпадения значения <р с
заданными её значениями на характеристике.
§ 19. Переход через скорость звука. Предельные линии. Примеры точных
решений. Представим себе несжимаемую жидкость, обтекающую с определённой
по величине и направлению скоростью на бесконечности, замкнутый контур.
Если, не меняя направление скорости, мы увеличим величину её, то
конфигурация линий тока останется неизменной — только нумерация функций
тока изменится. Существует лишь одно семейство кривых, которые могут
служить линиями тока при обтекании (под данным углом атаки) заданного
контура несжимаемой жидкостью. Совсем иначе будет обстоять дело в
сжимаемой жидкости. Если в несжимаемой жидкости мы могли написать
~ ____ дф ду ~ дф дер
х ду дх ’ У дх ду ’
просто уравнение Лапласа, то в сжимаемой
дф . ~ дер ~ _ дер
Ро •* дУ ’ Ро
причём
так что уравнение, получающееся для ф, будет содержать в качестве
коэффициента ?Що/я*— число Маха на бесконечности. Сама конфигурация линии
тока будет меняться с изменением числа Маха и, таким образом, одному
профилю будет отвечать бесконечное множество линий тока, представляющих
обтекание этого профиля при различных по величине скоростях на
бесконечности1).
') Несжимаемая жидкость получается как предельный случай, когда woo/а*
С так что в выражении для р/р0 можно пренебречь членом, со-
держащим (Woo/а*)2; это приводит к приближённому условию р/р0як1. Другой
предельный случай получится, если скорость Woo будет сверхзвуковой и
158 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
не в виде непрерывного безвихревого обтекания, а в виде движения, в
котором имеется поверхность разрыва, форма и местоположение которой
заранее неизвестны и после перехода через которую течение становится
