Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
выражены через v и ?1). Пользуясь этим соотношением, мы можем привести
задачу к решению лишь одного уравнения в частных производных первого
порядка с одной искомой функцией (напомним, что в общем случае мы имеем
систему двух уравнений с двумя функциями), т. е., в конечном счёте, к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы получить это единственное
уравнение, напишем, например, условие отсутствия вихря, выражая vx и vy
через v и [3:
(Н.2)
ду
.1 можем,
sinp + ccos! Щ по (10.3)
(|.cosp_t,sinp)|5. = o,
[здесь а — функция Это уравнение е руется и даёт:
где F — произволы
p = F(y — tg(p+ «)*). (11.4)
функция своего аргумента, каковая может
y*-y2 = tg(P2 + a2)(**-^2), (11.6)
y*-yt = tg(Pi —(11.7) В то же время по (10.3) имеем:
P’-P2=-?lJ^(i»*-©2). (П.8)
P*-Pi = —^(«*-«0, (П.9)
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ
решая эти уравнения относительно х , у , о , у х*= У' ~ у*?Уьг ~~ —? У* =
У1Ч-*i (•«*-
- F* (Ti^i + ?»./*,) +\ (hE2 - ъРг) , __ Ti^i+»???-
*t), (11.13)
^1. (11.14)
После того как первое приближение построено, надо перейти ко второму
приближению, вычислив значения a*, b*, Е*, F* (по первому приближению) и
вставив в формулы (11.13), (11.14) вместо а2, bx, Ev Е2, Fv F2 величины
а--а ?, * Бл +JL
Fx + F* F2 + F*
соответственно. Таким образом, получим новые значения х, у, о, f — второе
приближение. Этот процесс нужно повторять до тех пор, пока не будет
достигнута требуемая точность.
На протяжении этого параграфа мы говорили несколько раз относительно
ограничений, при которых наши рассуждения были справедливы. Так,
например, мы считали, что в участках, нас интересующих, не возникало
поверхности сильного разрыва, мы предполагали одно-однозначное
отображение плоскости (х, у) на плоскость (vx, vy) (что существенно было
при оценке погрешности приближённого метода). В § 20, где мы будем
говорить о движениях, происходящих в одной части плоскости с дозвуковыми
скоростями, в другой — со сверхзвуковыми скоростями, мы вернёмся, следуя
Христиановичу, к детальному и строгому обследованию всех случаев, которые
могут представиться в сверхзвуковом поле; а сейчас перейдём к конкретному
рассмотрению отдельных простых примеров.
§ 12. Движение газа вне выпуклой поверхности. Обтекание угла, большего
чем я. Выход из отверстия. Движение внутри трубы. Сопло Лаваля.
Рассмотрим некоторые движения со сверхзвуковыми скоростями.Предполагаем,
как в предыдущем пункте, отсутствие сильных разрывов.
Начнём с задачи о движении газа вокруг искривлённого контур; выпуклость
которого всегда нг правлена в сторону газа. Прег положим, что контур
представляется при х < 0 в виде отрицательной оси Ох, а при х > 0 — в
виде кривой, лежащей «под» осью Рис- 23-
положительных х-ов и так, что
касательная к этой кривой меняется непрерывно и в точке О совпадает с
осью Ох (рис. 23). Вдоль оси Оу поток безграничен. Считаем, что поток,
бегущий над прямолинейной частью контура, постоянен
70
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[гл. г
скорости звука. Пусть в этой области vx = vx > я*; vy — 0. Проведём
характеристику первого семейства через точку О. Характеристика первого
семейства ОА, проходящая в плоскости (х, у) через точку О, будет, как мы
уже знаем, прямой линией [всем её точкам будет отвечать в плоскости (vx,
vy) одна и только одна точка М'(vx, 0)], значит, во всех её точках у'х
будет иметь одно и то же значение. Чтобы найти движение «вправо» от
характеристики ОА, напомним, что вследствие постоянства скорости на ОА,
по сказанному в предыдущем параграфе (задача 3), мы будем здесь иметь
вдоль каждой характеристики второго семейства, но и вообще
во всей части плоскости, ограниченной контуром и характеристикой О А. Это
значит, что скорости этой части плоскости все расположатся на одной и той
же эпициклоиде второго семейства, проходящей через М'. Проведем эту
эпициклоиду. Чтобы найти теперь скорость в какой-либо точке Мх контура,
достаточно провести в плоскости (vx, vy) радиус-вектор, параллельный
касательной к контуру в точке Мх\ пересечение Мх этого радиуса-вектора с
проведённой эпициклоидой и даст искомую скорость. Зная Mi, мы можем найти
направление элемента характеристики первого семейства, выходящей из Мх, в
плоскости (х, у). Однако легко видеть, что вся характеристика первого
семейства, выходящая из Мх, будет прямой линией, так же как и
характеристика ОА. В самом деле, перемещаясь в (х, у) вдоль
характеристики МХАХ, мы будем пересекать различные характеристики второго
семейства (не обозначены на рисунке), но в плоскости (vx, vy) всем этим
различным характеристикам отвечает, как мы знаем, одна-единственная
эпициклоида второго семейства, проведённая нами через М', скорости вдоль
МХАХ найдутся поэтому как пересечение эпициклоиды первого семейства,
проходящей через М\, и всегда одной эпициклоиды второго семейства, идущей
через М', т. е. все скорости вдоль МХАХ будут равны по величине и
направлению скорости точки Мх, а отсюда и заключаем, что МХАХ есть прямая
